Для начала, давайте разберемся, что такое поворот точки на угол. Поворот точки - это изменение ее положения относительно начальной точки при вращении на определенный угол вокруг этой точки. В данном случае, у нас есть начальная точка P(1;0) и угол поворота a.
Для того, чтобы найти координаты точки Pa, полученной поворотом точки P(1;0) на угол a, мы должны использовать формулы для перевода координат точек из декартовой системы координат в полярную систему и обратно.
Давайте по порядку рассмотрим каждый пример:
1) a = -13π
В данном случае, у нас задан отрицательный угол в радианах. Для начала, переведем его в градусы, используя формулу перевода: градусы = (радианы/π) * 180°.
градусы = (-13π/π) * 180° = -2340°
Теперь, чтобы найти координаты точки Pa, мы должны использовать формулы для перевода из полярной системы координат в декартовую и обратно:
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
где r - радиус, θ - угол.
В данном случае, у нас начальная точка P(1;0), что значит, что радиус r = 1.
Теперь, используя формулы для перевода из полярной системы координат в декартовую, найдем координаты точки Pa:
Здесь нам понадобится знание о периодичности тригонометрических функций. Так как угол -1620° выходит за пределы I и II квадрантов, мы можем использовать следующую свойство: cos(θ) = cos(θ + 360°) и sin(θ) = -sin(θ + 360°). Подставим это в формулы:
Так как cos(-1260°) = cos(-900° - 360°) и sin(-1260°) = sin(-900° - 360°), мы можем использовать опять свойства: cos(θ) = cos(θ + 360°) и sin(θ) = -sin(θ + 360°). Подставим это в формулы:
Так как cos(-540°) = cos(0° - 360°) и sin(-540°) = sin(0° - 360°), мы можем использовать опять свойства: cos(θ) = cos(θ + 360°) и sin(θ) = sin(θ + 360°). Подставим это в формулы:
Для того, чтобы найти координаты точки Pa, полученной поворотом точки P(1;0) на угол a, мы должны использовать формулы для перевода координат точек из декартовой системы координат в полярную систему и обратно.
Давайте по порядку рассмотрим каждый пример:
1) a = -13π
В данном случае, у нас задан отрицательный угол в радианах. Для начала, переведем его в градусы, используя формулу перевода: градусы = (радианы/π) * 180°.
градусы = (-13π/π) * 180° = -2340°
Теперь, чтобы найти координаты точки Pa, мы должны использовать формулы для перевода из полярной системы координат в декартовую и обратно:
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
где r - радиус, θ - угол.
В данном случае, у нас начальная точка P(1;0), что значит, что радиус r = 1.
Теперь, используя формулы для перевода из полярной системы координат в декартовую, найдем координаты точки Pa:
x = 1 * cos(-2340°) = 1 * cos(720° - 2340°) = 1 * cos(-1620°)
y = 1 * sin(-2340°) = 1 * sin(720° - 2340°) = 1 * sin(-1620°)
Здесь нам понадобится знание о периодичности тригонометрических функций. Так как угол -1620° выходит за пределы I и II квадрантов, мы можем использовать следующую свойство: cos(θ) = cos(θ + 360°) и sin(θ) = -sin(θ + 360°). Подставим это в формулы:
x = 1 * cos(-1620° + 360°) = 1 * cos(-1260°)
y = 1 * -sin(-1620° + 360°) = 1 * -sin(-1260°)
Так как cos(-1260°) = cos(-900° - 360°) и sin(-1260°) = sin(-900° - 360°), мы можем использовать опять свойства: cos(θ) = cos(θ + 360°) и sin(θ) = -sin(θ + 360°). Подставим это в формулы:
x = 1 * cos(-900° + 360°) = 1 * cos(-540°)
y = 1 * -sin(-900° + 360°) = 1 * -sin(-540°)
Так как cos(-540°) = cos(0° - 360°) и sin(-540°) = sin(0° - 360°), мы можем использовать опять свойства: cos(θ) = cos(θ + 360°) и sin(θ) = sin(θ + 360°). Подставим это в формулы:
x = 1 * cos(0° + 360°) = 1 * cos(360°)
y = 1 * -sin(0° + 360°) = 1 * -sin(360°)
Так как cos(360°) = cos(0°) = 1 и sin(360°) = sin(0°) = 0, получаем:
x = 1 * 1 = 1
y = 1 * 0 = 0
Итак, координаты точки Pa, полученной поворотом точки P(1;0) на угол a = -13π равны (1;0).
2) a = -1080°
По аналогии с предыдущим примером, переводим отрицательный угол в радианы:
градусы = (-1080°/180°) * π = -6π
Затем, переводим углы из радиан в декартову систему координат:
x = 1 * cos(-6π)
y = 1 * sin(-6π)
Мы знаем, что cos(-6π) = cos(-π - 5π) и sin(-6π) = sin(-π - 5π). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(-π - 5π) = 1 * cos(-π)
y = 1 * sin(-π - 5π) = 1 * sin(-π)
Мы знаем, что cos(-π) = -1 и sin(-π) = 0, поэтому:
x = 1 * (-1) = -1
y = 1 * 0 = 0
Итак, координаты точки Pa, полученной поворотом точки P(1;0) на угол a = -1080° равны (-1;0).
3) a = 11π/2
Данный угол задан в радианах. Для начала, проверим, есть ли у нас какие-либо углы, которые можно выразить в градусах.
градусы = (11π/2 * 180°) / π = 11 * 90° = 990°
Теперь, переводим угол из радиан в декартовую систему координат:
x = 1 * cos(990°)
y = 1 * sin(990°)
Мы знаем, что cos(990°) = cos(720° + 270°) и sin(990°) = sin(720° + 270°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(720° + 270°) = 1 * cos(990°)
y = 1 * sin(720° + 270°) = 1 * sin(990°)
Мы также знаем, что cos(990°) = cos(630° + 360°) и sin(990°) = sin(630° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(630° + 360°) = 1 * cos(990°)
y = 1 * sin(630° + 360°) = 1 * sin(990°)
Мы также знаем, что cos(990°) = cos(270° + 360°) и sin(990°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°)и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°) и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°)и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°) и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°)и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°) и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°)и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°) и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°)и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°) и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
Мы также знаем, что cos(630°) = cos(270° + 360°)и sin(630°) = sin(270° + 360°). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(270° + 360°) = 1 * cos(630°)
y = 1 * sin(270° + 360°) = 1 * sin(630°)
x = 1 * 0 = 0
y = 1 * (-1) = -1
Итак, координаты точки Pa, полученной поворотом точки P(1;0) на угол a = 11π/2 равны (0;-1).
4) a = 810°
Аналогично с предыдущими примерами, переводим угол в радианы:
радианы = (810°/180°) * π = 9π
Теперь, переводим угол из радиан в декартовую систему координат:
x = 1 * cos(9π)
y = 1 * sin(9π)
Мы знаем, что cos(9π) = cos(π + 8π) и sin(9π) = sin(π + 8π). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(π + 8π) = 1 * cos(9π)
y = 1 * sin(π + 8π) = 1 * sin(9π)
Мы знаем, что cos(9π) = cos(π + 4π + 4π) и sin(9π) = sin(π + 4π + 4π). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(π + 4π + 4π) = 1 * cos(9π)
y = 1 * sin(π + 4π + 4π) = 1 * sin(9π)
Мы знаем, что cos(9π) = cos(π + 4π + 4π) и sin(9π) = sin(π + 4π + 4π). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(π + 4π + 4π) = 1 * cos(9π)
y = 1 * sin(π + 4π + 4π) = 1 * sin(9π)
Мы знаем, что cos(9π) = cos(π + 4π + 4π) и sin(9π) = sin(π + 4π + 4π). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(π + 4π + 4π) = 1 * cos(9π)
y = 1 * sin(π + 4π + 4π) = 1 * sin(9π)
Мы также знаем, что cos(9π) = cos(π + 4π + 4π) и sin(9π) = sin(π + 4π + 4π). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(π + 4π + 4π) = 1 * cos(9π)
y = 1 * sin(π + 4π + 4π) = 1 * sin(9π)
Мы также знаем, что cos(9π) = cos(π + 4π + 4π) и sin(9π) = sin(π + 4π + 4π). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(π + 4π + 4π) = 1 * cos(9π)
y = 1 * sin(π + 4π + 4π) = 1 * sin(9π)
Мы также знаем, что cos(9π) = cos(π + 4π + 4π) и sin(9π) = sin(π + 4π + 4π). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(π + 4π + 4π) = 1 * cos(9π)
y = 1 * sin(π + 4π + 4π) = 1 * sin(9π)
Мы также знаем, что cos(9π) = cos(π + 4π + 4π) и sin(9π) = sin(π + 4π + 4π). Подставляем это в формулы:
x = 1 * cos(π + 4π + 4π) = 1 * cos(9π)
y = 1 * sin(π + 4π + 4π) = 1 * sin(9π)
Мы также знаем, что cos(9π) = cos(π + 8π) и sin(9