1. Автомобиль на пути к месту назначения встретит 5 светофоров, каждый из которых
пропустит его с вероятностью 1/3. Построить ряд распределения числа светофоров,
пройденных машиной до прибытия к месту назначения. Постройте полигон данной
Постройте полигон данной ДСВ, функцию распределения и ее график.
2. У дежурного имеется 7 разных ключей от 7 разных комнат. Вынув наудачу ключ, он
пробует открыть дверь одной из комнат. Построить ряд распределения числа попыток
открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется). Постройте полигон
данной ДСВ, функцию распределения и ее график.
3. Подброшены 2 игральные кости. Построить ряд распределения ДСВ X- числа
выпадений четного числа очков. Постройте полигон данной ДСВ, функцию
распределения и ее график.
1. Автомобиль на пути к месту назначения встретит 5 светофоров, каждый из которых пропустит его с вероятностью 1/3. Нужно построить ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до прибытия к месту назначения.
Первый вопрос можно решить с помощью биномиального распределения. В этом случае, вероятность успешного события (пропуска светофора) равна 1/3, а количество попыток (светофоров) равно 5.
Чтобы найти вероятность того, что машина пройдет k светофоров, мы используем формулу биномиального распределения:
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Где n равно общему количеству попыток (в данном случае 5), k равно количеству успешных событий (пропуска светофора), p равно вероятности успешного события (1/3) и C(n,k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!).
Теперь, чтобы построить ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до прибытия к месту назначения, нужно вычислить вероятность для каждого возможного числа светофоров от 0 до 5.
Количество возможных светофоров (k) - 0, 1, 2, 3, 4, 5
Вероятность пропуска светофора (p) = 1/3
Общее количество светофоров (n) = 5
Теперь применим формулу:
P(X=0) = C(5,0) * (1/3)^0 * (2/3)^(5-0) = 1 * 1 * (32/243) = 32/243
P(X=1) = C(5,1) * (1/3)^1 * (2/3)^(5-1) = 5 * 1/3 * (16/81) = 80/243
P(X=2) = C(5,2) * (1/3)^2 * (2/3)^(5-2) = 10 * 1/9 * (8/27) = 80/243
P(X=3) = C(5,3) * (1/3)^3 * (2/3)^(5-3) = 10 * 1/27 * (8/9) = 160/243
P(X=4) = C(5,4) * (1/3)^4 * (2/3)^(5-4) = 5 * 1/81 * (16/27) = 80/243
P(X=5) = C(5,5) * (1/3)^5 * (2/3)^(5-5) = 1 * 1/243 * (32/3) = 32/243
Таким образом, ряд распределения числа светофоров выглядит следующим образом:
X: 0 1 2 3 4 5
P: 32/243 80/243 80/243 160/243 80/243 32/243
Теперь построим полигон данного ряда распределения (график). На горизонтальной оси отложено количество светофоров (k), а на вертикальной оси - вероятность (P).
2. У дежурного имеется 7 разных ключей от 7 разных комнат. Вынув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат. Нужно построить ряд распределения числа попыток открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется).
В данном случае, распределение будет равномерным, поскольку дверь каждой комнаты открывается с одинаковой вероятностью (1/7).
Количество возможных попыток (k) - 1, 2, 3, ..., 7
Вероятность открыть дверь (p) = 1/7
Общее количество дверей (n) = 7
Используя формулу биномиального распределения, мы можем найти вероятность для каждого возможного числа попыток открыть дверь.
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
P(X=1) = C(7,1) * (1/7)^1 * (6/7)^(7-1) = 7 * 1/7 * (1296/2401) = 1296/2401
P(X=2) = C(7,2) * (1/7)^2 * (6/7)^(7-2) = 21 * 1/49 * (576/2401) = 576/2401
P(X=3) = C(7,3) * (1/7)^3 * (6/7)^(7-3) = 35 * 1/343 * (216/2401) = 216/2401
P(X=4) = C(7,4) * (1/7)^4 * (6/7)^(7-4) = 35 * 1/2401 * (36/2401) = 36/2401
P(X=5) = C(7,5) * (1/7)^5 * (6/7)^(7-5) = 21 * 1/16807 * (6/2401) = 6/2401
P(X=6) = C(7,6) * (1/7)^6 * (6/7)^(7-6) = 7 * 1/117649 * (1/2401) = 1/2401
P(X=7) = C(7,7) * (1/7)^7 * (6/7)^(7-7) = 1 * 1/823543 * (1/2401) = 1/2401
Таким образом, ряд распределения числа попыток открыть дверь выглядит следующим образом:
X: 1 2 3 4 5 6 7
P: 1296/2401 576/2401 216/2401 36/2401 6/2401 1/2401 1/2401
Теперь построим полигон данного ряда распределения (график). На горизонтальной оси отложено количество попыток (k), а на вертикальной оси - вероятность (P).
3. Подброшены 2 игральные кости. Нужно построить ряд распределения ДСВ X - числа выпадений четного числа очков.
В данном случае, мы можем использовать формулу для суммы двух независимых случайных величин (сумма очков на двух игральных костях) известных распределений.
Количество возможных выпадений четного числа очков (k) - 0, 1, 2
Вероятность выпадения четного числа очков (p) = 1/2 , так как кости можно суммировать следующие пары значений{ (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5) }. Только в 9 случаях на 18 можем говорить о честном выпадении четного числа очков
Общее количество возможных комбинаций (n) = 36, так как на обоих кубиках у нас по 6 возможных значений (1,2,3,4,5,6).
Теперь, чтобы построить ряд распределения ДСВ X - числа выпадений четного числа очков, мы должны вычислить вероятность для каждого возможного числа выпадений четного числа очков от 0 до 2.
P(X=0) = (9/36)^0 * (27/36)^(36-0) = (1) * (1) = 1
P(X=1) = 9C1 * (9/36)^1 * (27/36)^(36-1) = 9 * (9/36) * (27/36)^35 = 9*(3/4)*(27/36)^35 ≈ 0.2707
P(X=2) = 9C2 * (9/36)^2 * (27/36)^(36-2) = 36 * (9/36)^2 * (27/36)^34 ≈ 0.0781
Таким образом, ряд распределения ДСВ X выглядит следующим образом:
X: 0 1 2
P: 1 ≈0.2707 ≈0.0781
Теперь построим полигон данного ряда распределения (график). На горизонтальной оси отложено количество выпадений четного числа очков (k), а на вертикальной оси - вероятность (P).
Я надеюсь, что это решение позволяет вам понять эту задачу. Если у вас возникнут еще вопросы или нужна помощь с другими задачами, я с радостью помогу.