1. Дано (3x^4-2x^2+2)^4-(4x^4-x^2+1)^2. Найдите
а) степень многочлена;
б) старший коэффициент и свободный член;
в) сумму коэффициентов многочлена;
г) сумму коэффициентов при четных
степенях.
2) Найдите значения А и В при которых
данное тождество верное
2x^5+3x^4-x^2-2x-4=(x^2+1)(2x^3+Ax^2+Bx-4)
3) Многочлен x^4+kx^3+5x^2+4x-12 делится на двучлен x+2 без остатка. Используя теорему Безу,
найдите остаток при делении данного
многочлена на двучлен x-2
4) Используя деление «уголком», запишите в
каноническом виде частное при делении
многочлена h(x)=x^3+kx^2-x-10 на двучлен (x-2). Найдите все корни многочлена и разложите его на множители.
а) степень многочлена:
Данный многочлен является разностью двух многочленов, поэтому его степень будет равна степени многочлена с наибольшей степенью, то есть максимум из степеней (3x^4-2x^2+2)^4 и (4x^4-x^2+1)^2.
Степень первого многочлена равна 4, так как это степень самого высокого члена (x^4).
Степень второго многочлена равна 2, так как это степень самого высокого члена (x^4).
Максимум из 4 и 2 равен 4, поэтому степень исходного многочлена равна 4.
б) старший коэффициент и свободный член:
Старший коэффициент многочлена будет равен коэффициенту при x^4. В первом многочлене это 3, а во втором многочлене это 4.
Таким образом, старший коэффициент многочлена равен 4.
Свободный член многочлена будет равен коэффициенту при x^0, то есть константа. В первом многочлене это 2, а во втором многочлене это 1.
Таким образом, свободный член многочлена равен 1.
в) сумма коэффициентов многочлена:
Чтобы найти сумму коэффициентов многочлена, нужно просуммировать все его коэффициенты.
Сумма коэффициентов первого многочлена равна:
3+0+(-2)+0+2=3
Сумма коэффициентов второго многочлена равна:
4+0+(-1)=3
Суммируем эти значения: 3+3=6.
Таким образом, сумма коэффициентов многочлена равна 6.
г) сумма коэффициентов при четных степенях:
Для нахождения суммы коэффициентов при четных степенях мы просуммируем коэффициенты при x^0, x^2, x^4 и так далее.
Сумма коэффициентов первого многочлена при четных степенях равна:
3+(-2)+2=3
Сумма коэффициентов второго многочлена при четных степенях равна:
4+(-1)=3
Суммируем эти значения: 3+3=6.
Таким образом, сумма коэффициентов при четных степенях равна 6.
2) Найдите значения A и B при которых данное тождество верное
2x^5+3x^4-x^2-2x-4=(x^2+1)(2x^3+Ax^2+Bx-4)
Для того чтобы найти значения A и B, мы должны раскрыть скобки в правой части уравнения и сравнить его с левой частью. Постепенно вычислим произведение (x^2+1)(2x^3+Ax^2+Bx-4):
(x^2+1)(2x^3+Ax^2+Bx-4) = 2x^5 + Ax^4 + Bx^3 - 4x^2 + 2x^3 + Ax^2 + Bx - 4
Теперь найдем сопоставление видимых степеней и коэффициентов слева и справа.
Слева имеем: 2x^5, Ax^4, 3x^4, Bx^3, x^3, x^2, -4x^2, Ax^2, -x^2, Bx, 2x, -4x, -2x, -4.
Теперь сравним справа и слева все одночлены с одинаковыми степенями.
1. При сравнении коэффициентов при x^5, видим, что слева у нас есть только одночлен 2x^5. Соответственно, A = 0 и B = 0.
2. При сравнении коэффициентов при x^4, сравниваем Ax^4 и 3x^4. Поскольку слева у нас только одночлен 3x^4 и его коэффициент равен 3, то A = 0.
3. При сравнении коэффициентов при x^3, сравниваем Bx^3 и x^3. Так как слева у нас есть только одночлен x^3, то B = 1.
4. При сравнении коэффициентов при x^2, видим, что слева у нас есть только одночлен -4x^2. Следовательно, коэффициент при x^2 слева равен -4, тогда Ax^2 - x^2 = -4. Так как A = 0, то -x^2 = -4. Решаем это уравнение: x^2 = 4. Поскольку это квадратное уравнение, у него два корня: x = 2 или x = -2.
В итоге, получаем значения A = 0 и B = 1.
3) Многочлен x^4+kx^3+5x^2+4x-12 делится на двучлен x+2 без остатка. Используя теорему Безу, найдите остаток при делении данного многочлена на двучлен x-2.
Теорема Безу гласит, что если многочлен делится на двучлен (ax-b) без остатка, то остаток равен f(b)/a, где f(b) - это значение многочлена при подстановке значения b.
В данном случае, двучлен равен (x+2), поэтому a = 1 и b = -2.
Вычисляем значение многочлена при подстановке x = -2:
f(-2) = (-2)^4 + k(-2)^3 + 5(-2)^2 + 4(-2) - 12
= 16 - 8k + 20 - 8 - 12
= -8k + 16
Таким образом, остаток при делении многочлена x^4+kx^3+5x^2+4x-12 на двучлен x+2 равен -8k + 16.
4) Используя деление «уголком», запишите в каноническом виде частное при делении многочлена h(x)=x^3+kx^2-x-10 на двучлен (x-2). Найдите все корни многочлена и разложите его на множители.
Для проведения деления «уголком» записываем многочлен h(x) и двучлен (x-2) как деление, где мы делим h(x) на (x-2) и вписываем результат в виде суммы частного и остатка:
x^2 + 3kx + 5
________________________
x-2 | x^3 + kx^2 - x - 10
x^3 -2x^2
___________
3kx^2 - x
3kx^2 - 6kx
_____________
5kx - 10
5kx - 10
___________
0
Мы получили, что частное при делении многочлена h(x) на двучлен (x-2) равно x^2 + 3kx + 5, а остаток равен 0.
Для нахождения корней многочлена, мы должны приравнять делитель (x-2) к нулю и решить это уравнение:
x - 2 = 0
Отсюда получаем x = 2.
Таким образом, корень многочлена равен x = 2.
Для разложения многочлена на множители мы можем использовать найденный корень:
h(x) = (x-2)(x^2 + 3kx + 5)