1.Дорога з пункту А в пункт в довжиною 11,5км іде спочатку вгору, потім рівниною і, нарешті, з гори. Пішохід на шлях від А до В
затратив 2год54хв, а на зворотний шлях – Згод 6хв. Швидкість його
ходьби вгору була 3км/год, на рівнині — 4км/год, аз гори — 5км/год.
Скільки кілометрів складає та частина дороги, яка іде рівниною?
Объяснение:
пусть искомые функции имеют уравнение y=ax²+bx+c (1)
найдем ось симметрии параболы
так как у точек А и В одинаковые ординаты то ось симметрии проходит через середину отрезка АВ
абсцисса середины отрезка АВ равна полусумме абсцисс точек А и В х₀=(-2+6)/2=2
так как ось симметрии проходит через вершину то абсцисса вершины тоже х₀=2
по формуле абсцисса вершины х₀=-b/2a
тогда -b/2a=2 b=-4a
подставим b=-4a в уравнение (1)
получим y=ax²-4ax+c
уравнение имеет единственный корень если дискриминант равен 0
b²-4ac=0 b=-4a
16a²=4ac
c=16a²/4a=4a
поставим с=4a в уравнение y=ax²-4ax+c
y=ax²-4ax+4a=a(x²-4x+4)=a(x-2)²
y=a(x-2)²
подставим координаты точки B в уравнение y=a(x-2)²
a(6-2)²=4
16a=4
a=4/16=0.25
a=0,25 подставим в уравнение y=a(x-2)²
получим
y=0.25(x-2)²
y`=–y/(2√xy–x)
Делим и числитель и знаменатель дроби справа на х:
y`=(y/x)/(2√x/y–1)
Справа функция, зависящая от (y/x)
Значит, это однородное уравнение первой степени
Решается заменой
y/x=u
y=x·u
y`=x`·u+x·u`
x`=1
y`=u+x·u`
u+xu`=–(xu)/(2√x·ux–x)
Это уравнение с разделяющимися переменными
не нравится.
Громоздко.
Поскольку переменные х и у равноправны, то можно сделать и так:
dx/dy=x`
y·x`=–2√xy+x
x`=–2√x/y+(x/y)
Замена лучше так:
x/y=u
x=u·y
x`=u`·y+u·y` ( y`=1)
x`=u`·y+u
тогда
u`·y+u=–2√u+(u)
u`·y=–2√u – уравнение с разделяющимися переменными
y·du=–2√udy
du/2√u=–dy/y
Интегрируем:
∫ du/2√u=– ∫ dy/y
√u=–lny+c
или вместо c лучше написать lnC
√u=–lny+lnC
√u=ln(C/y)
C/y=e^(√u
u=x/y
С/у=e√x/y – общее решение