1)Напиши уравнение касательной к графику функции y=2/x в точке x=2,5. 2)Имеются два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй — 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 21 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Разложим sin2x.
3cos²x - 5sinxcosx - 2sin²x = 0
Разделим на cos²x (cosx ≠ 0).
3 - 5tgx - 2tg² = 0
2tg²x + 5tgx - 3 = 0
Пусть t = tgx.
2t² + 5t - 3 = 0
D = 25 + 3•4•2 = 49 = 7².
t = (-5 + 7)/4 = 1/2
t = (-5 - 7)/4 = -12/4 = -3
Обратная замена:
tgx = 1/2
x = arctg(1/2) + πn, n ∈ Z
tgx = -3
x = arctg(-3) + πn, n ∈ Z.
2) √3sinx - cosx = 2
√3/2sinx - 1/2cosx = 1
cos(π/6)sinx - sin(π/6)cosx = 1
По формуле синуса разности аргументов:
sin(x - π/6) = 1
x - π/6 = π/2 + 2πn, n ∈ Z
x = π/2 + π/6 + 2πn, n ∈ Z
x = 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y' = (4x-12)*(x2-6x+13)
или
y' = 4(x-3)*(x2-6x+13)
Приравниваем ее к нулю:
4(x-3)*(x2-6x+13) = 0
x1 = 3
Вычисляем значения функции
f(3) = 9
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 4x2-24x+(2x-6)*(4x-12)+52
или
y'' = 12x2-72x+124
Вычисляем:
y''(3) = 16>0 - значит точка x = 3 точка минимума функции.