А) Пусть а=arccos 1/3, тогда сos a=cos(arccos 1/3)=1/3. Ищем мы cos a/2. Рассмотрим cos a=cos 2*a/2=2*cos^2 a/2 - 1. Значит 2*cos^2 a/2=1/3+1=4/3 => cos a/2=кореньиз(2/3). Выбираем с плюсом, т.к. arccos 1/3 дает угол из первой четверти, где косинус положителен.
б) Пусть x=arcsin4/5 и y=arccos3/5. Оба угла - и х, и у - находятся в первой четверти, значит sinx=sin (arcsin 4/5)=4/5, тогда по основному тригон.тожд. cosx=3/5. Аналогично, cos y=cos(arccos3/5)=3/5, и sin y=4/5. cos(arcsin4/5 - arccos3/5)=cos(x-y)= cosx*cosy+sinx*siny=3/5*3/5+4/5*4/5= 9/25+16/25=25/25=1.
б) Пусть x=arcsin4/5 и y=arccos3/5. Оба угла - и х, и у - находятся в первой четверти, значит sinx=sin (arcsin 4/5)=4/5, тогда по основному тригон.тожд. cosx=3/5. Аналогично, cos y=cos(arccos3/5)=3/5, и sin y=4/5.
cos(arcsin4/5 - arccos3/5)=cos(x-y)= cosx*cosy+sinx*siny=3/5*3/5+4/5*4/5= 9/25+16/25=25/25=1.
S =1/2 ab (формула площади)
с² = a² + b² ( т. Пифагора)
1/2·ab = 54 ab = 108|·2 ⇒ 2ab = 216
a² + b² = 225 ⇒ a² + b² = 225 a² + b² = 225 сложим:
(a+b)² = 441⇒a+b = 21 или
a + b = -21 ( не подходит по условию задачи)
итак, у нас система стала проще:
a + b = 21 b = 21 - a
ab=108 a(21 - a) = 108
21a -a² = 108
a² -21a +108 = 0
a1 = 12 ⇒ b1 = 21 - a = 21 - 12 = 9
a2 = 9 ⇒ b2 = 21 - a = 21 - 9 = 12
ответ: 12 и 9