1) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции и записать уравнение касательной в точке х = 1 f(x)=(x+3)/(x+1)
2). Материальная точка движется по закону S(t)= t3 - 12 t2 - 3
Через какое время материальная точка остановится?
3).Тело движется по закону: S(t)=5 t3 - 14 t2 - 12t.
Через какое время ускорение станет равным 2 м/с2
Найдите для функции f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7 первообразную, график которой проходит через точку A (1, -4).
Чтобы найти первообразную функции, мы должны интегрировать каждый одночлен по отдельности.
Итак, начнем с первого слагаемого 5x^4:
Интегрируем 5x^4 по x, получаем (5/5)x^5 = x^5.
Затем переходим ко второму слагаемому 3x^2:
Интегрируем 3x^2 по x, получаем (3/3)x^3 = x^3.
Интегрируем последний слагаемый -7 по x, получаем -7x.
Таким образом, первообразная функции f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7 будет выглядеть следующим образом:
F(x) = (1/5)x^5 + (1/3)x^3 - 7x + C,
где C - произвольная константа.
Для определения значения C и учета условия, что график первообразной проходит через точку A (1, -4), подставим значения x = 1 и y = -4 в уравнение первообразной:
-4 = (1/5)(1^5) + (1/3)(1^3) - 7(1) + C.
Вычисляем:
-4 = 1/5 + 1/3 - 7 + C.
Находим общий знаменатель для дробей:
-4 = 3/15 + 5/15 - 105/15 + C.
Складываем общие числители:
-4 = -97/15 + C.
Переносим -97/15 на другую сторону:
C = -4 + 97/15.
Находим общий знаменатель и складываем числители:
C = -60/15 + 97/15 = 37/15.
Таким образом, значение C равно 37/15.
Итак, первообразная функции f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7, график которой проходит через точку A (1, -4), будет иметь вид:
F(x) = (1/5)x^5 + (1/3)x^3 - 7x + 37/15.
Задание 3:
Найдите объем тела, образованного вращением около оси абсцисс фигуры, ограниченной прямой y = 4x и графиком функции y = x^3 при x ≥ 0.
Для нахождения объема тела, образованного вращением, можно использовать формулу цилиндра:
V = ∫[a,b] π(f(x))^2 dx,
где a и b - границы интервала, на котором определена функция, f(x) - функция, описывающая образующую поверхность, dx - промежуток приращения x, а интеграл - это сумма бесконечно малых элементов объема.
В данном случае, фигура ограничена прямой y = 4x и графиком функции y = x^3 при x ≥ 0, значит, a = 0.
Таким образом, наша задача - найти верхнюю границу интеграла, b, чтобы ограничить фигуру.
Рассмотрим точку пересечения этих двух графиков:
4x = x^3,
x^3 - 4x = 0,
x(x^2 - 4) = 0.
Получаем две корни: x = 0 и x = 2.
Так как нас интересует только фигура с x ≥ 0, то b = 2.
Теперь подставим значения a и b в формулу объема и осуществим интегрирование:
V = ∫[0,2] π(x^3)^2 dx,
V = π∫[0,2] x^6 dx,
V = π(1/7)x^7 |[0,2],
V = π((1/7)(2^7) - (1/7)(0^7)),
V = π(2^7/7).
Сокращаем:
V = 128π/7.
Таким образом, объем тела, образованного вращением около оси абсцисс фигуры, ограниченной прямой y = 4x и графиком функции y = x^3 при x ≥ 0, равен 128π/7.
Задание 4:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 + 1 и прямой y = x + 3.
Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, используем метод интегрирования.
Площадь S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,
где a и b - границы интервала, на котором определены функции, f(x) и g(x) - функции, описывающие верхнюю и нижнюю границы фигуры, dx - промежуток приращения x, а интеграл - это сумма бесконечно малых элементов площади.
В данном случае, график функции y = x^2 + 1 лежит сверху, а прямая y = x + 3 лежит снизу, значит, мы должны вычислить разность f(x) - g(x).
f(x) = x^2 + 1,
g(x) = x + 3.
Теперь можем осуществить интегрирование:
S = ∫[a,b] (x^2 + 1 - (x + 3)) dx.
Раскрываем скобки:
S = ∫[a,b] (x^2 - x - 2) dx.
Осуществляем интегрирование каждого слагаемого по отдельности:
S = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 2x |[a,b].
Подставляем границы a и b:
S = [(1/3)b^3 - (1/2)b^2 - 2b] - [(1/3)a^3 - (1/2)a^2 - 2a].
Теперь нам нужно найти точки пересечения графиков функций y = x^2 + 1 и y = x + 3.
Приравниваем:
x^2 + 1 = x + 3,
x^2 - x + 2 = 0.
Так как уравнение не имеет действительных корней, то точек пересечения графиков нет.
Однако в задании не указаны границы интервала для интегрирования, поэтому мы не можем найти конкретную площадь фигуры. Можем только выразить площадь через переменные a и b:
S = (1/3)b^3 - (1/2)b^2 - 2b - (1/3)a^3 + (1/2)a^2 + 2a.
Задание 5:
Вычислите производную функции f(x) = 4 ln(7x + 8).
Для вычисления производной логарифмической функции используем правило дифференцирования сложной функции.
В данном случае, f(x) = 4 ln(7x + 8), а дифференцирование логарифма ln(u) дает u' / u.
Применяем правило:
f'(x) = 4 * (1 / (7x + 8)) * (7).
Упрощаем:
f'(x) = 28 / (7x + 8).
Таким образом, производная функции f(x) = 4 ln(7x + 8) равна 28 / (7x + 8).
Задание 6:
Найдите общий вид первообразной функции.
Для нахождения общего вида первообразной функции используем правило обратное дифференцированию.
В данном случае, задан график функции, но не указано явное выражение. Поэтому мы не можем стандартным способом найти первообразную. Необходимо использовать графические методы или аппроксимацию.
На графике видно, что функция начинается в точке (-3, -1) и асимптотически приближается к прямой y = x/2 при x → +∞.
Таким образом, общий вид первообразной функции будет выглядеть как:
F(x) = ∫ f(x) dx + C,
где C - произвольная константа, и конкретное выражение для f(x) нам неизвестно на данный момент.
Обратите внимание, что без явного выражения для f(x) мы не можем найти точную формулу первообразной функции, а только общий вид с учетом заданных условий графика.
Надеюсь, это поможет вам в выполнении заданий. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
Для того, чтобы определить, является ли заданная функция числовой последовательностью, нужно проверить, удовлетворяет ли она двум условиям: функция задана на множестве натуральных чисел (натуральные числа - это числа 1, 2, 3, ...) и функция имеет определенную формулу, позволяющую получить следующий член последовательности из предыдущих.
Данная функция y = 5x - 6, где x принадлежит множеству (0; +∞), определена только на положительных числах (начиная с 0 и продолжая до бесконечности).
Однако, чтобы функция была числовой последовательностью, ее нужно определить на множестве натуральных чисел, а не просто на положительных числах.
Таким образом, функция y = 5x - 6, x ∈ (0; +∞) не является числовой последовательностью.
Ответ: нет.
Если у тебя остались вопросы, не стесняйся задавать их!