1.найти вектор х длины 3√26 коллинеарный вектору а = (4,3,1) и образующий с вектором b = (1,-3,3) тупой угол
2.даны вектора а = (-2,-10,-2) b = (-7,-10,-7) и с (3,-5,-2) найти вектор х перпендикулярный а и b такой, что (x,c) = 15
3. написать каноническое уравнение прямой проходящей через точку (3,7,-1) параллельно плоскостям г1 : 3х+у-4z = 2 и г2 : 3х-2z = 1
4. найти точку пересечения плоскости г : 5х - у -3z = 2 и прямой l перпендикулярной г и проходящей через точку (7,-2,0)
|a| = √(4²+3²+1²) = √(16+9+1) = √26
|b| = √(1²+(-3)²+3²) = √(1+9+9) = √19
Чтобы найти вектор х, который коллинеарен а и образует с b тупой угол, нужно умножить вектор а на скалярное значение. Обозначим этот скаляр как k. Тогда вектор х будет равен:
х = k * а
Так как векторы а и х коллинеарны, значит они имеют одно направление, а значит их координаты соотносятся следующим образом:
х = (k*4, k*3, k*1)
Из условия, что вектор х образует тупой угол с вектором b, используем формулу для косинуса угла между векторами:
cosθ = (х*b) / (|х|*|b|)
где х*b - скалярное произведение векторов х и b,
|х| - длина вектора х,
|b| - длина вектора b.
Так как мы ищем вектор х длины 3√26, то |х| = 3√26.
Также, так как векторы должны образовывать тупой угол, то cosθ < 0.
Теперь решим уравнение:
(х*b) / (|х|*|b|) < 0
Подставляем значения векторов:
((k*4, k*3, k*1)*(1,-3,3)) / (3√26*√19) < 0
Рассчитаем выражение в числовом виде:
(4k - 9k + 9k) / (3√26*√19) < 0
4k / (3√26*√19) < 0
Так как a > 0, то уравнение можно преобразовать без изменения неравенства:
k / (3√26*√19) < 0
Решим это неравенство:
k < 0
Таким образом, вектор х будет иметь координаты, умноженные на отрицательный скаляр k. Например:
х = (-4, -3, -1)
2. Нам даны векторы a = (-2,-10,-2), b = (-7,-10,-7) и с = (3,-5,-2). Нужно найти вектор х, перпендикулярный a и b такой, что (x,c) = 15.
Для начала найдем векторное произведение векторов a и b:
х = a x b
Значит, вектор х будет равен:
х = (-2,-10,-2) x (-7,-10,-7)
Вычисляем векторное произведение:
х = ((-10)*(-7) - (-10)*(-7), (-2)*(-7) - (-10)*(-7), (-2)*(-10) - (-7)*(-2))
= (38, 56, -14)
Теперь найдем скалярное произведение векторов х и c:
(x,c) = (38, 56, -14) * (3, -5, -2)
Вычисляем скалярное произведение:
(x,c) = 38*3 + 56*(-5) + (-14)*(-2)
= 114 - 280 + 28
= -138
Так как (x,c) = 15, то получаем уравнение:
-138 = 15
Это уравнение не имеет решений, так как -138 не равно 15. Значит, вектор х не существует.
3. Нам дана точка M(3,7,-1), а также две плоскости г1: 3х+у-4z=2 и г2: 3х-2z=1. Нужно найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной обеим плоскостям г1 и г2.
Так как прямая параллельна плоскостям г1 и г2, то её вектор нормали будет перпендикулярен вектору нормали этих плоскостей. Найдем вектор нормали для г1 и г2.
Для г1: 3х+у-4z=2
Вектор нормали г1 будет равен коэффициентам при переменных:
n1 = (3, 1, -4)
Для г2: 3х-2z=1
Вектор нормали г2 будет равен коэффициентам при переменных:
n2 = (3, 0, -2)
Теперь найдем вектор, параллельный прямой, проходящей через точку M и параллельной плоскостям г1 и г2:
х = n1 x n2
Вычисляем векторное произведение:
х = (3, 1, -4) x (3, 0, -2)
х = ((1)(-2) - (0)(-4), (3)(-2) - (-4)(3), (3)(0) - (-2)(1))
= (-2, -6, -3)
Таким образом, вектор, параллельный прямой, будет равен х = (-2, -6, -3).
Используя точку M(3,7,-1) и вектор х = (-2, -6, -3), можем записать каноническое уравнение прямой:
(x - 3) / (-2) = (y - 7) / (-6) = (z + 1) / (-3)
4. Нам дана плоскость г: 5x - у - 3z = 2 и прямая l, перпендикулярная г и проходящая через точку P(7,-2,0). Нужно найти точку пересечения плоскости г и прямой l.
Так как прямая l перпендикулярна плоскости г, то её вектор направления будет равен вектору нормали плоскости г.
Вектор нормали плоскости г будет равен коэффициентам при переменных:
n = (5, -1, -3)
Теперь найдем уравнение прямой l, проходящей через точку P(7,-2,0) и параллельной г:
(x - 7) / 5 = (y + 2) / (-1) = z / (-3)
Таким образом, уравнение прямой l:
(x - 7) / 5 = (y + 2) / (-1) = z / (-3)
Теперь найдем точку пересечения прямой l и плоскости г, подставив уравнение прямой в уравнение плоскости г:
5((x - 7) / 5) - ((y + 2) / (-1)) - 3(z / (-3)) = 2
x - 7 + y + 2 + z = 2
x + y + z - 5 = 0
Таким образом, точка пересечения прямой l и плоскости г будет иметь координаты, удовлетворяющие уравнению x + y + z - 5 = 0.