1.Преобразуйте уравнение 5(х²+3)=3(х-2)² к виду ах+bx+с=0 и укажите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член. 2. Определите, какое из приведенных ниже уравнений является неполным квадратным уравнением: a) 6х²+х-7=0 b) 2х+х²=0 c) 3х²-8х+4=0 d) 65+18х+х²=0
3. Дано квадратное уравнение 9х²-6х-m=0 а) при каких значениях параметра m данное уравнение имеет два одинаковых действительных корня? b) Найдите эти корни.
4. Не вычисляя корней данного уравнения х²+7х-11=0, найдите х^1^2+х^2^2
5. Для квадратного трехчлена х²-12х-45=0 а) выделите полный квадрат b) разложите квадратный трехчлен на множители
6. Дано уравнение а) Укажите область допустимых значений уравнения b) приведите рациональное уровнение к квадратному уравнению с) найдите решение рационального уравнения
1. Преобразование уравнения к виду ах+bx+с=0:
Сначала преобразуем правую часть уравнения по правилу квадрата разности: (х-2)² = х² - 4х + 4.
Затем умножаем каждый член уравнения на 5 и раскрываем скобки: 5(х²+3) = 3(х² - 4х + 4).
Получаем: 5х² + 15 = 3х² - 12х + 12.
Собираем все члены с х в левую часть уравнения, а все свободные члены - в правую часть: 5х² - 3х² + 12х - 12 - 15 = 0.
Объединяем подобные члены: 2х² + 12х - 27 = 0.
Таким образом, получаем уравнение ах+bx+с=0, где а = 2, b = 12 и с = -27.
2. Для определения неполного квадратного уравнения нужно найти его вид вида ax² + bx + c = 0 и проверить, является ли коэффициент при x единицей.
a) 6х²+х-7=0: коэффициент при x (1) не является единицей, уравнение не является неполным квадратным.
b) 2х+х²=0: коэффициент при x (2) является единицей, уравнение является неполным квадратным.
c) 3х²-8х+4=0: коэффициент при x (-8) не является единицей, уравнение не является неполным квадратным.
d) 65+18х+х²=0: коэффициент при x (18) не является единицей, уравнение не является неполным квадратным.
Таким образом, неполным квадратным уравнением является уравнение b) 2х+х²=0.
3. Дано уравнение 9х²-6х-m=0.
а) Для того чтобы уравнение имело два одинаковых действительных корня, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант равен D = b² - 4ac.
Подставляя значения a = 9, b = -6 и c = -m в формулу дискриминанта, получаем: D = (-6)² - 4 * 9 * (-m) = 36 + 36m.
Затем приравниваем D к нулю: 36 + 36m = 0.
Решая это уравнение относительно m, получаем: m = -1.
b) Чтобы найти корни уравнения, подставляем значение параметра m = -1 обратно в исходное уравнение: 9х² - 6х - (-1) = 0.
Решаем данное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или формулы корней и находим значения х.
4. Чтобы не вычислять корни уравнения х²+7х-11=0, мы можем воспользоваться формулой (х+у)² = х²+2ху+у².
Нам нужно найти значение выражения х^12 + х^22.
Рассмотрим данное уравнение как полный квадрат: (х+7/2)² = х²+7х+(7/2)².
Сравнивая это с исходным уравнением х²+7х-11=0, мы видим, что у = 7/2.
Тогда, х^12 + х^22 = (х+7/2)² + 11 - (7/2)².
5. Для квадратного трехчлена х²-12х-45=0.
а) Чтобы выделить полный квадрат, нам нужно найти такое число, которое при возведении в квадрат даст первое слагаемое, и при умножении на два будет равно второму слагаемому. В данном случае это число 6, так как (6)² = 36 и 2 * 6 = 12.
Тогда мы можем переписать уравнение как (х-6)² - 81 = 0.
b) Для разложения квадратного трехчлена на множители, мы переписываем его как (х-6)² - 81 = 0 и используем формулу разности квадратов: (а-Ь)(а+Ь) = а²-Ь².
Таким образом, (х-6)² - 81 = (х-6-9)(х-6+9) = (х-15)(х+3).
Таким образом, разложенным на множители является выражение (х-15)(х+3).
а) Область допустимых значений уравнения определяется исключением значений x, при которых знаменатели равны нулю (так как деление на ноль является невозможным).
1) Выражение 2x - 1 не должно быть равно нулю: 2х - 1 ≠ 0.
Решаем это уравнение и находим x ≠ 1/2.
2) Выражение 4x² - 1 не должно равняться нулю: 4x² - 1 ≠ 0.
Решаем это уравнение и находим x ≠ ±1/2.
Таким образом, область допустимых значений уравнения - все значения x, кроме x = 1/2, x = -1/2.
b) Чтобы привести рациональное уравнение к квадратному, необходимо избавиться от дробей. Для этого можем перемножить обе части уравнения на общий знаменатель (2x - 1)(4x² - 1), чтобы избавиться от знаменателей.
Упрощаем уравнение, сокращая общие множители и раскрывая скобки.
После упрощения, мы получим квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и с - некоторые коэффициенты.
c) После приведения рационального уравнения к квадратному уравнению, мы можем найти его решение путем решения полученного квадратного уравнения. Решением найденного квадратного уравнения будут значения x, которые удовлетворяют исходному рациональному уравнению.
7. Для уравнения х²-7х-6=0.
Для нахождения корней квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта (D = b² - 4ac) или метод разложения на множители.
Раскладывая квадратный трехчлен на множители, мы ищем два числа, сумма которых равна коэффициенту при x (-7) и их произведение равно произведению первого и последнего члена, то есть -6.
Исходное уравнение можно записать в виде (х - а)(х - b) = 0, где а и b - искомые числа.
Таким образом, ищем два числа, сумма которых равна -7 и произведение равно -6.
Заметим, что -6 = -3 * 2 и (-3) + 2 = -1, что близко к -7.
Поэтому разложим уравнение следующим образом: х² - 3х - 2х - 6 = 0.
Сгруппируем члены и вынесем общий множитель: х(х - 3) - 2(х - 3) = 0.
Мы видим, что (х - 3) является общим множителем, поэтому можно вынести (х - 3) за скобки: (х - 3)(х - 2) = 0.
Таким образом, корнями уравнения являются х = 3 и х = 2.
Сначала преобразуем правую часть уравнения по правилу квадрата разности: (х-2)² = х² - 4х + 4.
Затем умножаем каждый член уравнения на 5 и раскрываем скобки: 5(х²+3) = 3(х² - 4х + 4).
Получаем: 5х² + 15 = 3х² - 12х + 12.
Собираем все члены с х в левую часть уравнения, а все свободные члены - в правую часть: 5х² - 3х² + 12х - 12 - 15 = 0.
Объединяем подобные члены: 2х² + 12х - 27 = 0.
Таким образом, получаем уравнение ах+bx+с=0, где а = 2, b = 12 и с = -27.
2. Для определения неполного квадратного уравнения нужно найти его вид вида ax² + bx + c = 0 и проверить, является ли коэффициент при x единицей.
a) 6х²+х-7=0: коэффициент при x (1) не является единицей, уравнение не является неполным квадратным.
b) 2х+х²=0: коэффициент при x (2) является единицей, уравнение является неполным квадратным.
c) 3х²-8х+4=0: коэффициент при x (-8) не является единицей, уравнение не является неполным квадратным.
d) 65+18х+х²=0: коэффициент при x (18) не является единицей, уравнение не является неполным квадратным.
Таким образом, неполным квадратным уравнением является уравнение b) 2х+х²=0.
3. Дано уравнение 9х²-6х-m=0.
а) Для того чтобы уравнение имело два одинаковых действительных корня, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант равен D = b² - 4ac.
Подставляя значения a = 9, b = -6 и c = -m в формулу дискриминанта, получаем: D = (-6)² - 4 * 9 * (-m) = 36 + 36m.
Затем приравниваем D к нулю: 36 + 36m = 0.
Решая это уравнение относительно m, получаем: m = -1.
b) Чтобы найти корни уравнения, подставляем значение параметра m = -1 обратно в исходное уравнение: 9х² - 6х - (-1) = 0.
Решаем данное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или формулы корней и находим значения х.
4. Чтобы не вычислять корни уравнения х²+7х-11=0, мы можем воспользоваться формулой (х+у)² = х²+2ху+у².
Нам нужно найти значение выражения х^12 + х^22.
Рассмотрим данное уравнение как полный квадрат: (х+7/2)² = х²+7х+(7/2)².
Сравнивая это с исходным уравнением х²+7х-11=0, мы видим, что у = 7/2.
Тогда, х^12 + х^22 = (х+7/2)² + 11 - (7/2)².
5. Для квадратного трехчлена х²-12х-45=0.
а) Чтобы выделить полный квадрат, нам нужно найти такое число, которое при возведении в квадрат даст первое слагаемое, и при умножении на два будет равно второму слагаемому. В данном случае это число 6, так как (6)² = 36 и 2 * 6 = 12.
Тогда мы можем переписать уравнение как (х-6)² - 81 = 0.
b) Для разложения квадратного трехчлена на множители, мы переписываем его как (х-6)² - 81 = 0 и используем формулу разности квадратов: (а-Ь)(а+Ь) = а²-Ь².
Таким образом, (х-6)² - 81 = (х-6-9)(х-6+9) = (х-15)(х+3).
Таким образом, разложенным на множители является выражение (х-15)(х+3).
6. Дано уравнение (x / 2x - 1) + (25 / (4x² - 1)) = 1 / 27.
а) Область допустимых значений уравнения определяется исключением значений x, при которых знаменатели равны нулю (так как деление на ноль является невозможным).
1) Выражение 2x - 1 не должно быть равно нулю: 2х - 1 ≠ 0.
Решаем это уравнение и находим x ≠ 1/2.
2) Выражение 4x² - 1 не должно равняться нулю: 4x² - 1 ≠ 0.
Решаем это уравнение и находим x ≠ ±1/2.
Таким образом, область допустимых значений уравнения - все значения x, кроме x = 1/2, x = -1/2.
b) Чтобы привести рациональное уравнение к квадратному, необходимо избавиться от дробей. Для этого можем перемножить обе части уравнения на общий знаменатель (2x - 1)(4x² - 1), чтобы избавиться от знаменателей.
Получаем: (x / 2x - 1)(2x - 1)(4x² - 1) + (25 / (4x² - 1))(2x - 1)(4x² - 1) = (1 / 27)(2x - 1)(4x² - 1).
Упрощаем уравнение, сокращая общие множители и раскрывая скобки.
После упрощения, мы получим квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и с - некоторые коэффициенты.
c) После приведения рационального уравнения к квадратному уравнению, мы можем найти его решение путем решения полученного квадратного уравнения. Решением найденного квадратного уравнения будут значения x, которые удовлетворяют исходному рациональному уравнению.
7. Для уравнения х²-7х-6=0.
Для нахождения корней квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта (D = b² - 4ac) или метод разложения на множители.
Раскладывая квадратный трехчлен на множители, мы ищем два числа, сумма которых равна коэффициенту при x (-7) и их произведение равно произведению первого и последнего члена, то есть -6.
Исходное уравнение можно записать в виде (х - а)(х - b) = 0, где а и b - искомые числа.
Таким образом, ищем два числа, сумма которых равна -7 и произведение равно -6.
Заметим, что -6 = -3 * 2 и (-3) + 2 = -1, что близко к -7.
Поэтому разложим уравнение следующим образом: х² - 3х - 2х - 6 = 0.
Сгруппируем члены и вынесем общий множитель: х(х - 3) - 2(х - 3) = 0.
Мы видим, что (х - 3) является общим множителем, поэтому можно вынести (х - 3) за скобки: (х - 3)(х - 2) = 0.
Таким образом, корнями уравнения являются х = 3 и х = 2.
Получаем ответ: корни уравнения х² - 7х - 6 = 0 равны 3 и 2.