Привет! Я буду выступать в роли твоего школьного учителя и объясню, как решить эту задачу.
1. Для начала давай разберемся, что значит выражение (3B+2A^2)x.
Операция умножения матрицы на вектор применяется поэлементно, то есть каждый элемент вектора x умножается на соответствующий элемент матрицы.
Дано:
x =(x1,x2,x3)
Ax =(x1+x3,−x2,x2−3x3)
Bx =(−x3,2x1,x2)
Теперь мы получили выражение, которое можно упростить и посчитать значения, если известны значения переменных x1, x2 и x3.
2. Теперь давай решим вторую задачу и найдем матрицу T, диагонализирующую матрицу A, и соответствующую матрицу B.
У нас дана матрица A = (0 3; 0 4) (я предполагаю, что внешние скобки обозначают матрицу).
Настройка мысли: для диагонализации матрицы нужно найти собственные векторы и собственные значения матрицы.
1. Найдем собственные значения (eigenvalues) матрицы A:
Для этого решим уравнение det(A-λI) = 0, где I - единичная матрица, а λ - собственные значения.
det(A-λI) = det((0-λ) 3; 0 (4-λ))
= (0-λ)(4-λ) - 3 * 0
= λ^2 - 4λ
= λ(λ-4) = 0
Итак, у нас есть два возможных собственных значения: λ1 = 0 и λ2 = 4.
2. Найдем собственные векторы (eigenvectors) для каждого собственного значения:
a) λ1 = 0:
(A - λ1I)u = (0 3; 0 (4-0)) u = (0 3; 0 4) u = 0
0u1 + 3u2 = 0 => u1 = 3u2
0u1 + 4u2 = 0 => 4u2 = 0 => u2 = 0
Таким образом, первый собственный вектор u1 = (3, 0).
b) λ2 = 4:
(A - λ2I)u = (0 3; 0 (4-4)) u = (0 3; 0 0) u = 0
0u1 + 3u2 = 0 => u1 = 3u2
u2 может быть произвольным, возьмем u2 = 1.
Таким образом, второй собственный вектор u2 = (3, 1).
3. Мы нашли два линейно независимых собственных вектора и можем по ним сформировать матрицу T:
T = (u1 u2) = | 3 3 |
| 0 1 |
4. Теперь найдем матрицу B:
B = T^(-1)AT
Для этого найдем обратную матрицу к матрице T, обозначим ее как T^(-1).
Матрица T^(-1) может быть найдена по формуле:
T^(-1) = 1/det(T) · (adj(T)), где det(T) - определитель T, adj(T) - присоединенная (союзная) матрица.
1. Для начала давай разберемся, что значит выражение (3B+2A^2)x.
Операция умножения матрицы на вектор применяется поэлементно, то есть каждый элемент вектора x умножается на соответствующий элемент матрицы.
Дано:
x =(x1,x2,x3)
Ax =(x1+x3,−x2,x2−3x3)
Bx =(−x3,2x1,x2)
Ищем (3B+2A^2)x:
1. Умножим матрицу A на вектор x:
A^2 = A · A = (x1+x3, −x2, x2-3x3) · (x1+x3, −x2, x2-3x3)
= (x1+x3)·(x1+x3) + (−x2)·(−x2) + (x2-3x3)·(x2-3x3)
= (x1^2 + 2x1x3 + x3^2) + (x2^2) + (x2^2 - 6x2x3 + 9x3^2)
= x1^2 + 2x1x3 + x3^2 + x2^2 + x2^2 - 6x2x3 + 9x3^2
Теперь умножим все это на 2:
2A^2 = 2(x1^2 + 2x1x3 + x3^2 + x2^2 + x2^2 - 6x2x3 + 9x3^2)
= 2x1^2 + 4x1x3 + 2x3^2 + 2x2^2 + 2x2^2 - 12x2x3 + 18x3^2
2. Умножим матрицу B на вектор x:
3B = 3(−x3, 2x1, x2) = (−3x3, 6x1, 3x2)
3. Сложим результаты:
(3B+2A^2)x = (−3x3, 6x1, 3x2) + (2x1^2 + 4x1x3 + 2x3^2 + 2x2^2 + 2x2^2 - 12x2x3 + 18x3^2)(x1, x2, x3)
= (−3x3, 6x1, 3x2) + (2x1^3 + 4x1^2x3 + 2x3^3 + 2x2^3 + 4x2^2x3 - 12x2x3^2 + 18x3^3, 2x1^2 + 4x1x3 + 2x3^2 + 2x2^2 + 2x2^2 - 12x2x3 + 18x3^2)(x1, x2, x3)
Теперь мы получили выражение, которое можно упростить и посчитать значения, если известны значения переменных x1, x2 и x3.
2. Теперь давай решим вторую задачу и найдем матрицу T, диагонализирующую матрицу A, и соответствующую матрицу B.
У нас дана матрица A = (0 3; 0 4) (я предполагаю, что внешние скобки обозначают матрицу).
Настройка мысли: для диагонализации матрицы нужно найти собственные векторы и собственные значения матрицы.
1. Найдем собственные значения (eigenvalues) матрицы A:
Для этого решим уравнение det(A-λI) = 0, где I - единичная матрица, а λ - собственные значения.
det(A-λI) = det((0-λ) 3; 0 (4-λ))
= (0-λ)(4-λ) - 3 * 0
= λ^2 - 4λ
= λ(λ-4) = 0
Итак, у нас есть два возможных собственных значения: λ1 = 0 и λ2 = 4.
2. Найдем собственные векторы (eigenvectors) для каждого собственного значения:
a) λ1 = 0:
(A - λ1I)u = (0 3; 0 (4-0)) u = (0 3; 0 4) u = 0
0u1 + 3u2 = 0 => u1 = 3u2
0u1 + 4u2 = 0 => 4u2 = 0 => u2 = 0
Таким образом, первый собственный вектор u1 = (3, 0).
b) λ2 = 4:
(A - λ2I)u = (0 3; 0 (4-4)) u = (0 3; 0 0) u = 0
0u1 + 3u2 = 0 => u1 = 3u2
u2 может быть произвольным, возьмем u2 = 1.
Таким образом, второй собственный вектор u2 = (3, 1).
3. Мы нашли два линейно независимых собственных вектора и можем по ним сформировать матрицу T:
T = (u1 u2) = | 3 3 |
| 0 1 |
4. Теперь найдем матрицу B:
B = T^(-1)AT
Для этого найдем обратную матрицу к матрице T, обозначим ее как T^(-1).
Матрица T^(-1) может быть найдена по формуле:
T^(-1) = 1/det(T) · (adj(T)), где det(T) - определитель T, adj(T) - присоединенная (союзная) матрица.
det(T) = 3 * 1 - 0 * 3 = 3
adj(T) = | 1 -3 |
| 0 3 |
Теперь найдем T^(-1):
T^(-1) = (1/det(T)) · (adj(T))
= (1/3) · (| 1 -3 |
| 0 3 |)
= | 1/3 - 1 |
| 0 1 |
Теперь у нас есть матрица T^(-1):
T^(-1) = | 1/3 - 1 |
| 0 1 |
Итак, теперь можем найти матрицу B:
B = T^(-1)AT = | 1/3 - 1 | · | 0 3; 0 4 | = | (1/3)*0 + (-1)*0 (1/3)*3 + (-1)*4 |
| (0)*0 + (1)*0 (0)*3 + (1)*4 |
= | 0 - 1 | · | (-4/3) 7 |
| 0 4 |
Итак, матрица B = | -4/3 7 |
| 0 4 |
Надеюсь, объяснение было понятным и подробным! Если у тебя есть какие-то вопросы, не стесняйся задавать их.