1) Пусть задана функция у = f ( g ( x ) ),
где f ( g ) – внешняя функция, а g ( x ) – внутренняя функция.
а) Запишите формулу (правило) дифференцирования сложной функции.
б) Сформулируйте это правило своими словами.
Начните, к примеру, так: «Производная сложной функции равна…»
2) Запишите уравнение касательной.
3) Пусть задана функция y = f (x). Требуется записать уравнение касательной в точке x = a,
(попробуйте объяснить или описать следующие действия словами):
f (a)=
f ´ (x)=
f ´ (a)=
yкас = f (a) + f ´ (a)·(x - a)
4) Найдите производную функции:
1. y = 7x5 + 3x4 - 57х – 7;
2. y = - 3х + 13 cos x – 2 ctg х;
3. y = х · (- 2x + 1);
4. y = хx²+ 1
5) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = - 7 cos 3х + 2sin 5х – 7 в точке с абсциссой х0 = 3.
6) Составьте уравнение касательной к графику функции
у = х4 - х2 -2 в точке х0 = 1.
Точки M(2;4) и N(5;-2) принадлежат этой прямой, получаем систему уравнений
4 = k * 2 + b,
-2 = k * 5 + b.
Из первого уравнения b = 4 - 2k. Подставим во второе уравнение
-2 = 5k + 4 - 2k => 3k = -6 => k = -2 => b = 4 - 2 * (-2) = 4 + 4 = 8
Уравнение MN: y = -2x + 8
Точки пересечения:
с осью Ох: y = 0 => -2x + 8 = 0 => x = 4 (4;0)
с осью Оу: x = 0 => y = -2 * 0 + 8 => y = 8 (0;8)
2) Так как график линейной функции проходит через начало координат, то ее уравнение y = k * x.
Также она проходит через точку M(-2,5;4)
4 = k * (-2,5) => k = 4 : (-2,5) = -4/2,5 = -40/25 = -8/5
Получаем уравнение y = -8/5 * x.
Для нахождения точек пересечения данной функции и прямой 3x - 2y - 16 = 0 решаем систему
y = -8/5 * x,
3x - 2y - 16 = 0
y = -8/5 * x,
3x - 2 * (-8/5 * x) - 16 = 0
y = -8/5 * x,
3x + 16/5 * x = 16
y = -8/5 * x,
31/5 * x = 16
x = 16 * 5/31 = 80/31, y = -8/5 * 80/31 = -128/31
Получаем точку пересечения (80/31;-128/31)
1. Область определения функции: x∈R (функция определена на x∈(-∞;+∞).
2. Четность/нечетность: f(-x)=-(-x)³+3(-x)²-4=x³+3x²-4≠f(x)≠-f(x) - функция ни четная, ни нечетная.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Поведение функции при x→+-∞: при x→-∞, f(x)→+∞; при x→+∞, f(x)→-∞.
5. Производная функции: f'(x)=(-x³+3x²-4)'=-(x³)'+3*(x²)'-4'=-3x²+3*2x-0=-3x²+6x.
6. Экстремумы функции: f'(x)=0, -3x²+6x=0 ⇒ x²-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ x=0 и x=2.
7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания) функции: при x∈(-∞;0], f'(x)<0 - функция убывает, при x∈[0;2], f'(x)>0 - функция возрастает, при x∈[2;+∞), f'(x)<0 - функция убывает. Следовательно x=0 - точка минимума, x=2 - точка максимума.
8. Пересечение графика функции с осями координат: с осью абсцисс, f(x)=0 ⇒ -x³+3x²-4=0 ⇒ x=-1 и x=2, получим точки (-1;0) и (2;0); с осью ординат, x=0, f(x)=-4, получим точку (0;-4).
9.График нарисуешь сам