1. разделите с остатком: x^7 + 4x^6 - 3x^5 - 34x^4 - 51x^3 - 18x^2 + 12x + 8 на (x+2) 2. найдите остаток от деления многочлена 3x^7 - 25x^5 + 4x^2 - 140x - 10 на (x+3) 3. найдите значение многочлена x^7 - 24x^5 - 5x^4 + 60x^3 - 5 при x= -2 4. выясните, является ли x = -1 корнем многочлена 14x^5 + 20x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 8x + 7 5. при каких значениях параметра b уравнение 9x + b^2 - (2 - корень(3) )*b - 2*корень(3) = b^4 * x - b^2 * (b + корень(3) ) не имеет корней? 6. в уравнении 5x^2 - kx + 1 = 0 определите параметр k так, чтобы разность корней уравнения равнялась 1. (теорема виета) 7. сократите дробь (x^5 + x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 4x + 4) / (x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6) 8. найдите наименьшее значение выражения x(1)^2 * x(2)^2 + x(1)^2 * x(3)^2 + x(2)^2 * x(3)^2, используя теорему виета, если x(1); x(2); x(3) - корни уравнения x^3 - x + 3 = 0 9. докажите методом индукции a) 1^2 + 3^2 + + (2n - 1)^2 = (n(2n + 1)(2n - 1)) / 3 b) сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится нацело на 9 10. решите уравнение: |3x+1|-1 = |2-x| (a^2-1)x = a-1 a(x-1) / (x-a) = 0 (2x+10)/корень(x^2-16) > = 0 3.5(x+1)> =4x-(x-1)/2 (x+6)/(x^2-7x) - 4/(7-x)^2 > = 1/(x-7) |2x-1|< =|1-x| x^2-5|x|+6< 0 logx^2 (x-1)^2 < = 1 (log2 (8x) * log0.125x (2)) / (log0.5x (16)) < = 1/4
y = x³ - 3x² + 4
D(y) = R, кубическая функция непрерывна
Первая производная
y' = (x³ - 3x² + 4)' = 3x² - 6x
y' = 0; 3x² - 6x = 0; 3x(x - 2) = 0;
1) 3x = 0; x₁ = 0
2) x - 2 = 0; x₂ = 2
Знаки производной функции y'
++++++++++ [0] --------------- [2] +++++++++ > x
Функция возрастает на промежутках (-∞;0] и [2;+∞)
Функция убывает на промежутке [0;2]
x₁ = 0 - производная меняет знак с плюса на минус - точка максимума
x₂ = 2 - производная меняет знак с минуса на плюс - точка минимума
Значения на отрезке [-1; 4]
x = -1; y = (-1)³ - 3·(-1)² + 4 = -1 - 3 + 4 = 0
x = 0; y = 0³ - 3·0² + 4 = 4 - максимум функции
x = 2; y = 2³ - 3·2² + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 - минимум функции
x = 4; y = 4³ - 3·4² + 4 = 64 - 48 + 4 = 20
Наибольшее значение функции в точке x=4, y=20
Наименьшие значение функции в точках x=-1 и x=2, y=0
сделаем замену |x|=t⇒|t²-6t+8|=a
если a<0, уравнение не имеет решения
если a=0, то t²-6t+8=0⇒t=4;t=2
x=+-4;x=+-2
таким образом, мы нашли наименьшее значение a, при котором уравнение |x²-6|x|+8|=a будет иметь 4 корня(ибо дальше a>0 нам не имеет смысла рассматривать, раз просят найти наименьшее значение параметра)
насчет графика - его построить относительно просто: строите параболу y=x²-6x+8⇒часть графика при x<0 стираете, а часть при x≥0 отображаете относительно оси Oy⇒часть графика y<0 отображаете вверх относительно оси Ox(часть y≥0 оставить)⇒получили искомый график.