Алгебра: 1. Решить : 2. Найдите площу фигуры, за этим: , y=1

1. Пусть Решать надо методом интервалов, для этого надо найти нули функции , решим для уравнение Получаем разложение Там интервалы были, знаки на них +-+, выбрали среднийВозвращаемся к заменеТакой переход имели право сделать, так как функция - монотонно возрастающая функция.2. - парабола с ветвями, направленными вниз, - просто прямая и фигура, образованная при их пересечении будет такова, что кусок параболы будет лежать выше.Вспомним, что для на некотором интервале, то площадь фигуры будет равна...

1. Решить :
2. Найдите площу фигуры, за этим:
, y=1

Показать ответ

Ответ:

НагецБлайзер

14.09.2020 12:48

1. Пусть $2^x=t \Rightarrow 4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2 \Rightarrow t^2-5t+4$

Решать надо методом интервалов, для этого надо найти нули функции f(t)=t^2-5t+4 , решим для уравнение $\displaystyle f(t) = 0: t^2-5t+4=0 \ (1-5+4=0) \Rightarrow \left [ {{t=1} \atop {t=\frac{c}{a}=4 }} \right.$

Получаем разложение (t-1)(t-4)

Там интервалы были, знаки на них +-+, выбрали средний

Возвращаемся к замене

Такой переход имели право сделать, так как функция g(x)=2^x - монотонно возрастающая функция.

2. y=5-x^2 - парабола с ветвями, направленными вниз, y=1 - просто прямая и фигура, образованная при их пересечении будет такова, что кусок параболы будет лежать выше.

Вспомним, что для $f(x)\geq g(x)$ на некотором интервале, то площадь фигуры будет равна $S = \int\limits^b_a {(f(x)-g(x))} \, dx$

В нашем случае нужно вычислить пределы, а это как раз абсциссы точек пересечения, то есть нужно решить уравнение

$5-x^2=1 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$ , пределы нашли, вычисляем:

$\displaystyle S = \int\limits^2_{-2} {(5-x^2-1)} \, dx = \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx = \bigg(4x-\frac{x^3}{3}\bigg) \bigg|\limits_{-2}^2 = \\=4\cdot 2-\frac{2^3}{3}-\bigg(4\cdot(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \bigg) =8+8-\frac{8}{3}-\frac{8}{3}=16-\frac{16}{3}=\\=\frac{48-16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$