Для решения данной системы уравнений мы можем воспользоваться методом Крамера и методом Гаусса.
Метод Крамера:
1. Вычисляем определитель главной матрицы системы, он равен D = |a11 a12 a13|
|a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|,
где a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 - коэффициенты при неизвестных.
В нашем случае D = |1 -4 2|
|-2 1 -3|
|1 -3 5|.
D = 1*(-3)*5 + (-4)*(-3)*1 + 2*1*(-2) = -15 + 12 - 4 = -7.
2. Вычисляем определитель матрицы, где первый столбец заменен на столбец свободных членов, он равен Dx = |b1 a12 a13|
|b2 a22 a23|
|b3 a32 a33|,
где b1, b2, b3 - столбец свободных членов.
В нашем случае Dx = |3 -4 2|
|7 1 -3|
|-2 -3 5|.
Dx = 3*(-3)*5 + (-4)*(-3)*(-2) + 2*7*(-3) = -45 + 24 - 42 = -63.
Dx - это определитель, который получается, если в матрицу D подставить вместо первого столбца столбец свободных членов.
3. Вычисляем определитель матрицы, где второй столбец заменен на столбец свободных членов, он равен Dy = |a11 b1 a13|
|a21 b2 a23|
|a31 b3 a33|.
В нашем случае Dy = |1 3 2|
|-2 7 -3|
|1 -2 5|.
Dy = 1*7*5 + 3*(-2)*1 + 2*(-3)*(-2) = 35 - 6 + 12 = 41.
Dy - это определитель, который получается, если в матрицу D подставить вместо второго столбца столбец свободных членов.
4. Вычисляем определитель матрицы, где третий столбец заменен на столбец свободных членов, он равен Dz = |a11 a12 b1|
|a21 a22 b2|
|a31 a32 b3|.
В нашем случае Dz = |1 -4 3|
|-2 1 7|
|1 -3 -2|.
Dz = 1*1*(-2) + (-4)*7*1 + 3*(-2)*(-3) = -2 - 28 + 18 = -12.
Dz - это определитель, который получается, если в матрицу D подставить вместо третьего столбца столбец свободных членов.
5. Находим значения неизвестных:
x = Dx / D = -63 / -7 = 9,
y = Dy / D = 41 / -7 ≈ -5.8571,
z = Dz / D = -12 / -7 ≈ 1.7143.
Таким образом, решение системы уравнений методом Крамера состоит в следующем: x = 9, y ≈ -5.8571, z ≈ 1.7143.
Метод Гаусса:
1. Записываем расширенную матрицу системы уравнений:
|1 -4 2 3|
|-2 1 -3 7|
|1 -3 5 -2|.
2. Приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду: переставляем строки или добавляем строки, умноженные на число, чтобы получить нули под главной диагональю.
Производим следующие элементарные преобразования:
R2 = R2 + 2R1,
R3 = R3 - R1.
3. Приводим новую матрицу к улучшенному ступенчатому виду, деля каждую строку на первую ненулевую.
Делим вторую строку на -7:
R2 = (-1/7)R2 = |-1/7 1 -1/7 -13/7|.
4. Возвращаемся к исходной системе уравнений, записывая матрицу в виде системы уравнений:
x - 4y + 2z = 3,
-1/7y + z = -13/7,
y + 3z = -5.
5. Из второго уравнения получаем выражение -1/7y = -13/7 - z, или y = 13 + 7z.
Подставляем в третье уравнение: 13 + 7z + 3z = -5.
Получаем 10z = -18, затем z = -18/10 = -9/5.
6. Подставляем найденное значение z в выражение для y: y = 13 + 7*(-9/5) = 13 - 63/5 = 65/5 - 63/5 = 2/5.
А после подставляем найденные значения y и z в первое уравнение: x - 4*(2/5) + 2*(-9/5) = 3.
Получаем x = 15/5 + 8/5 - 18/5 = 5/5 = 1.
Таким образом, решение системы уравнений методом Гаусса состоит в следующем: x = 1, y = 2/5, z = -9/5.
Надеюсь, мой ответ понятен. Если возникнут дополнительные вопросы, буду рад помочь!
Для решения данной системы уравнений мы можем воспользоваться методом Крамера и методом Гаусса.
Метод Крамера:
1. Вычисляем определитель главной матрицы системы, он равен D = |a11 a12 a13|
|a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|,
где a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 - коэффициенты при неизвестных.
В нашем случае D = |1 -4 2|
|-2 1 -3|
|1 -3 5|.
D = 1*(-3)*5 + (-4)*(-3)*1 + 2*1*(-2) = -15 + 12 - 4 = -7.
2. Вычисляем определитель матрицы, где первый столбец заменен на столбец свободных членов, он равен Dx = |b1 a12 a13|
|b2 a22 a23|
|b3 a32 a33|,
где b1, b2, b3 - столбец свободных членов.
В нашем случае Dx = |3 -4 2|
|7 1 -3|
|-2 -3 5|.
Dx = 3*(-3)*5 + (-4)*(-3)*(-2) + 2*7*(-3) = -45 + 24 - 42 = -63.
Dx - это определитель, который получается, если в матрицу D подставить вместо первого столбца столбец свободных членов.
3. Вычисляем определитель матрицы, где второй столбец заменен на столбец свободных членов, он равен Dy = |a11 b1 a13|
|a21 b2 a23|
|a31 b3 a33|.
В нашем случае Dy = |1 3 2|
|-2 7 -3|
|1 -2 5|.
Dy = 1*7*5 + 3*(-2)*1 + 2*(-3)*(-2) = 35 - 6 + 12 = 41.
Dy - это определитель, который получается, если в матрицу D подставить вместо второго столбца столбец свободных членов.
4. Вычисляем определитель матрицы, где третий столбец заменен на столбец свободных членов, он равен Dz = |a11 a12 b1|
|a21 a22 b2|
|a31 a32 b3|.
В нашем случае Dz = |1 -4 3|
|-2 1 7|
|1 -3 -2|.
Dz = 1*1*(-2) + (-4)*7*1 + 3*(-2)*(-3) = -2 - 28 + 18 = -12.
Dz - это определитель, который получается, если в матрицу D подставить вместо третьего столбца столбец свободных членов.
5. Находим значения неизвестных:
x = Dx / D = -63 / -7 = 9,
y = Dy / D = 41 / -7 ≈ -5.8571,
z = Dz / D = -12 / -7 ≈ 1.7143.
Таким образом, решение системы уравнений методом Крамера состоит в следующем: x = 9, y ≈ -5.8571, z ≈ 1.7143.
Метод Гаусса:
1. Записываем расширенную матрицу системы уравнений:
|1 -4 2 3|
|-2 1 -3 7|
|1 -3 5 -2|.
2. Приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду: переставляем строки или добавляем строки, умноженные на число, чтобы получить нули под главной диагональю.
Производим следующие элементарные преобразования:
R2 = R2 + 2R1,
R3 = R3 - R1.
Получаем новую матрицу:
|1 -4 2 3|
|0 -7 1 13|
|0 1 3 -5|.
3. Приводим новую матрицу к улучшенному ступенчатому виду, деля каждую строку на первую ненулевую.
Делим вторую строку на -7:
R2 = (-1/7)R2 = |-1/7 1 -1/7 -13/7|.
4. Возвращаемся к исходной системе уравнений, записывая матрицу в виде системы уравнений:
x - 4y + 2z = 3,
-1/7y + z = -13/7,
y + 3z = -5.
5. Из второго уравнения получаем выражение -1/7y = -13/7 - z, или y = 13 + 7z.
Подставляем в третье уравнение: 13 + 7z + 3z = -5.
Получаем 10z = -18, затем z = -18/10 = -9/5.
6. Подставляем найденное значение z в выражение для y: y = 13 + 7*(-9/5) = 13 - 63/5 = 65/5 - 63/5 = 2/5.
А после подставляем найденные значения y и z в первое уравнение: x - 4*(2/5) + 2*(-9/5) = 3.
Получаем x = 15/5 + 8/5 - 18/5 = 5/5 = 1.
Таким образом, решение системы уравнений методом Гаусса состоит в следующем: x = 1, y = 2/5, z = -9/5.
Надеюсь, мой ответ понятен. Если возникнут дополнительные вопросы, буду рад помочь!