1. Решите неравенства. Соотнесите свои ответы с названиями промежутков.
1) х 2 +2х+10 ˃ 0;
2) х 2 -12х+36 ≤ 0;
3) х 2 +3х+2 ≥ 0;
4) х 2 - 9 ≤ 0;
a) Неравенство не имеет решений
b) Решением неравенства является вся числовая прямая
c) Решением неравенства является одна точка.
d) Решением неравенства является закрытый промежуток.
e) Решением неравенства является открытый промежуток.
f) Решением неравенства является объединение двух промежутков.

Объяснение:

5x²-4xy+y²=4x+1

y²-4xy=-5x²+4x+1

y²-4xy+4x²=-x²+4x+1

(y-2x)²=-x²+4x+1

1) y-2x=√(-x²+4x+1); y=2x+√(-x²+4x+1)

2) y-2x=-√(-x²+4x+1); y=2x-√(-x²+4x+1)

-x²+4x+1≥0; x²-4x-1≤0

Допустим x²-4x-1=0; D=16+4=20

x₁=(4-2√5)/2=2-√5; x₂=2+√5

Возьмём для определения знака пробную точку на промежутке [2-√5; 2+√5], например, 0:

-0²+4·0+1=1; 1>0

Неравенство выполняется на данном интервале:

             -                             +                       -

..>x

                        2-√5                       2+√5

x∈[2-√5; 2+√5]

2-√5≈-0,24; 2+√5≈4,24

Выбираем пары целочисленных решений:

x=0; y=2·0±√(-0²+4·0+1); y₁=-1; y₂=1

x=1; y=2·1±√(-1²+4·1+1)=2±2; y₁=0; y₂=4

x=2; y=2·2±√(-2²+4·2+1)=4±√5 - не подходит.

x=3; y=2·3±√(-3²+4·3+1)=6±2; y₁=4; y₂=8

x=4; y=2·4±√(-4²+4·4+1)=8±1; y₁=7; y₂=9

Преобразуем выражение:

Рассмотрим и преобразуем числитель:

Получилось произведение четырех подряд идущих целых чисел.

Из четырех подряд идущих целых чисел гарантированно найдется хотя бы одно, кратное 3. Также, из четырех подряд идущих целых чисел найдется два четных числа, одно из которых не только четное, но и кратно 4.

Таким образом, в произведении гарантированно есть множители 3, 2 и 4. Тогда, такое произведение делится на .

Запишем:

В исходной дроби такое выражение как раз делится на 24. Как выясняется, это выражение кратно 24. Значит, результат деления на 24 будет целым числом:

Доказано.