1. Решение неравенства:
a) 5х^2 + 3х – 8 > 0
Сначала найдем корни квадратного уравнения 5х^2 + 3х – 8 = 0, используя формулу дискриминанта. Дискриминант D = (3)^2 - 4 * 5 * (-8) = 9 + 160 = 169. Из этого следует, что дискриминант положительный, что означает, что уравнение имеет два корня:
х₁ = (-3 + √D) / (2 * 5) = (-3 + 13) / 10 = 10 / 10 = 1,
х₂ = (-3 - √D) / (2 * 5) = (-3 - 13) / 10 = -16 / 10 = -1.6.
Теперь построим табличку с тремя интервалами в зависимости от знака выражения 5х^2 + 3х – 8:
| интервал | -беск. | -1.6 | 1 | +беск. |
|----------------|----------|-----------|------|--------|
| 5х^2 + 3х – 8 | - | + | - | + |
Из таблицы видно, что 5х^2 + 3х – 8 положительно на интервале от -1.6 до 1, иначе говоря, x принадлежит интервалу (-∞, -1.6) объединенному с интервалом (1, +∞). Ответ: x ∈ (-∞, -1.6) U (1, +∞).
б) х^2 < 16
Решим данное неравенство, взяв квадратный корень от обеих частей:
√(х^2) < √16,
|x| < 4.
Это неравенство означает, что абсолютное значение x должно быть меньше 4. Построим табличку с двумя интервалами в зависимости от знака выражения |x| - 4:
| интервал | -беск. | -4 | 4 | +беск. |
|----------------|----------|------|------|--------|
| |x| - 4 | - | - | + | + |
Из таблицы видно, что |x| - 4 меньше нуля на интервале от -4 до 4, иначе говоря, x принадлежит интервалу (-4, 4). Ответ: x ∈ (-4, 4).
в) 5х^2 – 4х + 21 > 0
Снова найдем корни квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта. Дискриминант D = (-4)^2 - 4 * 5 * 21 = 16 - 420 = -404. Из этого следует, что дискриминант отрицательный и уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, 5х^2 – 4х + 21 > 0 для всех действительных значений x. Ответ: x ∈ (-∞, +∞).
2. Решение неравенства с использованием метода интервалов:
(х + 8) (x - 5) (х + 10) < 0.
Для начала найдем значения x, при которых выражение (х + 8) (x - 5) (х + 10) равно нулю:
х + 8 = 0, x - 5 = 0 или х + 10 = 0.
Отсюда получаем три корня: x₁ = -8, x₂ = 5 и x₃ = -10.
Из таблицы можно видеть, что выражение (х + 8) (x - 5) (х + 10) меньше нуля на интервалах от -10 до -8 и от 5 до +∞. Таким образом, x ∈ (-10, -8) U (5, +∞).
3. Решение уравнения 25х^2 + tx + 1 = 0 без корней:
Для того, чтобы уравнение не имело корней, его дискриминант должен быть отрицательным. Дискриминант уравнения равен D = t^2 - 4 * 25 * 1 = t^2 - 100.
Таким образом, для того, чтобы уравнение не имело корней, выражение t^2 - 100 должно быть отрицательным:
t^2 - 100 < 0,
t^2 < 100,
-10 < t < 10.
Ответ: уравнение 25х^2 + tx + 1 = 0 не имеет корней при значениях t из интервала (-10, 10).
a) 5х^2 + 3х – 8 > 0
Сначала найдем корни квадратного уравнения 5х^2 + 3х – 8 = 0, используя формулу дискриминанта. Дискриминант D = (3)^2 - 4 * 5 * (-8) = 9 + 160 = 169. Из этого следует, что дискриминант положительный, что означает, что уравнение имеет два корня:
х₁ = (-3 + √D) / (2 * 5) = (-3 + 13) / 10 = 10 / 10 = 1,
х₂ = (-3 - √D) / (2 * 5) = (-3 - 13) / 10 = -16 / 10 = -1.6.
Теперь построим табличку с тремя интервалами в зависимости от знака выражения 5х^2 + 3х – 8:
| интервал | -беск. | -1.6 | 1 | +беск. |
|----------------|----------|-----------|------|--------|
| 5х^2 + 3х – 8 | - | + | - | + |
Из таблицы видно, что 5х^2 + 3х – 8 положительно на интервале от -1.6 до 1, иначе говоря, x принадлежит интервалу (-∞, -1.6) объединенному с интервалом (1, +∞). Ответ: x ∈ (-∞, -1.6) U (1, +∞).
б) х^2 < 16
Решим данное неравенство, взяв квадратный корень от обеих частей:
√(х^2) < √16,
|x| < 4.
Это неравенство означает, что абсолютное значение x должно быть меньше 4. Построим табличку с двумя интервалами в зависимости от знака выражения |x| - 4:
| интервал | -беск. | -4 | 4 | +беск. |
|----------------|----------|------|------|--------|
| |x| - 4 | - | - | + | + |
Из таблицы видно, что |x| - 4 меньше нуля на интервале от -4 до 4, иначе говоря, x принадлежит интервалу (-4, 4). Ответ: x ∈ (-4, 4).
в) 5х^2 – 4х + 21 > 0
Снова найдем корни квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта. Дискриминант D = (-4)^2 - 4 * 5 * 21 = 16 - 420 = -404. Из этого следует, что дискриминант отрицательный и уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, 5х^2 – 4х + 21 > 0 для всех действительных значений x. Ответ: x ∈ (-∞, +∞).
2. Решение неравенства с использованием метода интервалов:
(х + 8) (x - 5) (х + 10) < 0.
Для начала найдем значения x, при которых выражение (х + 8) (x - 5) (х + 10) равно нулю:
х + 8 = 0, x - 5 = 0 или х + 10 = 0.
Отсюда получаем три корня: x₁ = -8, x₂ = 5 и x₃ = -10.
Построим табличку с интервалами и знаками выражения (х + 8) (x - 5) (х + 10):
| интервал | -беск. | -10 | -8 | 5 | +беск. |
|-----------|----------|-----|------|------|--------|
| (х + 8) | - | - | + | + | + |
| (x - 5) | - | - | - | + | + |
| (х + 10) | - | + | + | + | + |
| резуль-е | - | + | - | + | - |
Из таблицы можно видеть, что выражение (х + 8) (x - 5) (х + 10) меньше нуля на интервалах от -10 до -8 и от 5 до +∞. Таким образом, x ∈ (-10, -8) U (5, +∞).
3. Решение уравнения 25х^2 + tx + 1 = 0 без корней:
Для того, чтобы уравнение не имело корней, его дискриминант должен быть отрицательным. Дискриминант уравнения равен D = t^2 - 4 * 25 * 1 = t^2 - 100.
Таким образом, для того, чтобы уравнение не имело корней, выражение t^2 - 100 должно быть отрицательным:
t^2 - 100 < 0,
t^2 < 100,
-10 < t < 10.
Ответ: уравнение 25х^2 + tx + 1 = 0 не имеет корней при значениях t из интервала (-10, 10).