(a) Чтобы решить неравенство (x-5)(3x-9)(7-x) > 0, мы можем использовать метод интервалов. Для начала, найдем все значения x, при которых каждый из трех множителей равен нулю:
(x-5) = 0 --> x = 5
(3x-9) = 0 --> x = 3
(7-x) = 0 --> x = 7
Теперь мы можем разбить число x на отрезки на основании найденных значений:
ОТРЕЗОК 1: x < 3
В этом отрезке все множители (x-5), (3x-9), и (7-x) отрицательны, потому что они имеют отрицательное значение. Так как произведение трех отрицательных чисел будет положительным, неравенство будет истинным в этом отрезке.
ОТРЕЗОК 2: 3 < x < 5
В этом отрезке первый множитель (x-5) отрицательный, а два других множителя (3x-9) и (7-x) положительны. Поскольку у нас есть один отрицательный множитель и два положительных множителя, произведение будет отрицательным, а значит неравенство будет ложным в этом отрезке.
ОТРЕЗОК 3: 5 < x < 7
В этом отрезке первый множитель (x-5) положительный, а два других множителя (3x-9) и (7-x) положительны. Так как у нас есть три положительных множителя, произведение будет положительным, и неравенство будет истинным в этом отрезке.
ОТРЕЗОК 4: x > 7
В этом отрезке все множители (x-5), (3x-9), и (7-x) положительные, так как их значения больше нуля. Поскольку произведение трех положительных чисел будет положительным, неравенство будет истинным в этом отрезке.
Теперь мы можем записать итоговый ответ:
(x-5)(3x-9)(7-x) > 0 имеет решение в виде:
x < 3 или (5 < x < 7) или x > 7
(b) Чтобы решить неравенство -3(3-x)(4-x) > 0, мы снова используем метод интервалов. Найдем значения x, при которых каждый из трех множителей равен нулю:
-3 = 0 (У нас нет решения для этого множителя, так как это константа)
(3-x) = 0 --> x = 3
(4-x) = 0 --> x = 4
Теперь разобъем число x на отрезки на основе найденных значений:
ОТРЕЗОК 1: x < 3
В этом отрезке два множителя (-3) и (4-x) положительны, а множитель (3-x) отрицательный. Поскольку у нас есть два положительных множителя и один отрицательный множитель, произведение будет отрицательным. Таким образом, неравенство будет ложным в этом отрезке.
ОТРЕЗОК 2: 3 < x < 4
В этом отрезке первый множитель (-3) отрицательный, а два других множителя (3-x) и (4-x) положительны. Поскольку у нас есть один отрицательный множитель и два положительных множителя, произведение будет положительным. Неравенство будет истинным в этом отрезке.
ОТРЕЗОК 3: x > 4
В этом отрезке все множители (-3), (3-x), и (4-x) отрицательные. Поскольку произведение трех отрицательных чисел будет отрицательным, неравенство будет истинным в этом отрезке.
Итоговый ответ будет такой:
-3(3-x)(4-x) > 0 имеет решение в виде:
3 < x < 4 или x > 4
(x-5) = 0 --> x = 5
(3x-9) = 0 --> x = 3
(7-x) = 0 --> x = 7
Теперь мы можем разбить число x на отрезки на основании найденных значений:
ОТРЕЗОК 1: x < 3
В этом отрезке все множители (x-5), (3x-9), и (7-x) отрицательны, потому что они имеют отрицательное значение. Так как произведение трех отрицательных чисел будет положительным, неравенство будет истинным в этом отрезке.
ОТРЕЗОК 2: 3 < x < 5
В этом отрезке первый множитель (x-5) отрицательный, а два других множителя (3x-9) и (7-x) положительны. Поскольку у нас есть один отрицательный множитель и два положительных множителя, произведение будет отрицательным, а значит неравенство будет ложным в этом отрезке.
ОТРЕЗОК 3: 5 < x < 7
В этом отрезке первый множитель (x-5) положительный, а два других множителя (3x-9) и (7-x) положительны. Так как у нас есть три положительных множителя, произведение будет положительным, и неравенство будет истинным в этом отрезке.
ОТРЕЗОК 4: x > 7
В этом отрезке все множители (x-5), (3x-9), и (7-x) положительные, так как их значения больше нуля. Поскольку произведение трех положительных чисел будет положительным, неравенство будет истинным в этом отрезке.
Теперь мы можем записать итоговый ответ:
(x-5)(3x-9)(7-x) > 0 имеет решение в виде:
x < 3 или (5 < x < 7) или x > 7
(b) Чтобы решить неравенство -3(3-x)(4-x) > 0, мы снова используем метод интервалов. Найдем значения x, при которых каждый из трех множителей равен нулю:
-3 = 0 (У нас нет решения для этого множителя, так как это константа)
(3-x) = 0 --> x = 3
(4-x) = 0 --> x = 4
Теперь разобъем число x на отрезки на основе найденных значений:
ОТРЕЗОК 1: x < 3
В этом отрезке два множителя (-3) и (4-x) положительны, а множитель (3-x) отрицательный. Поскольку у нас есть два положительных множителя и один отрицательный множитель, произведение будет отрицательным. Таким образом, неравенство будет ложным в этом отрезке.
ОТРЕЗОК 2: 3 < x < 4
В этом отрезке первый множитель (-3) отрицательный, а два других множителя (3-x) и (4-x) положительны. Поскольку у нас есть один отрицательный множитель и два положительных множителя, произведение будет положительным. Неравенство будет истинным в этом отрезке.
ОТРЕЗОК 3: x > 4
В этом отрезке все множители (-3), (3-x), и (4-x) отрицательные. Поскольку произведение трех отрицательных чисел будет отрицательным, неравенство будет истинным в этом отрезке.
Итоговый ответ будет такой:
-3(3-x)(4-x) > 0 имеет решение в виде:
3 < x < 4 или x > 4