1.решите уравнение: a.√2cosx = 1; b.sinx+cosx = 0; c.2cos2x-sinx = -1; d.(cos3x-1)sinx = 0. 2.решите неравенство: ctg(π/2+x) > √3.

x=12, min((16/x)+(x/9))=8/3

Объяснение:

Часть теоремы о средних - неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим(неравенство Коши)

(16/x)+(x/9)≥2√((16/x)(x/9))=2√(16/9)=2·4/3=8/3

Равенство достигается при 16/x=x/9⇔x²=144⇔x=±12

x>0⇒x=12

min((16/x)+(x/9))=8/3

Можно решить и другим

Рассмотрим функцию f(x)=16/x+x/9 при x>0. Найдём промежутки её монотонности.

f '(x)=-16/x²+1/9=(x²-144)/(9x²)=(x-12)(x+12)/(9x²)

x∈(0;12)⇒f '(x)<0⇒f↓

x∈(12;+∞)⇒f '(x)>0⇒f↑

minf(x)=f(12)=16/12+12/9=4/3+4/3=8/3

x∈(0;+∞)

(a+3)x^2 = 4a−6x

(a+3)x^2 +6x - 4a = 0

D =b^2 - 4ac =  36 - 4*(-4a)*(a + 3) = 36 + 16a^2 + 48a =

16a^2 + 48a + 36 = 4*(4a^2 + 12a + 9) = 4*((2a)^2 + 2*2a*3 + 3^2) = (2(2a + 3))^2

x12 = (-6 +- |2(2a+3)|)/ 2(a + 3)

x1 =  (-6 + 2(2a+3))/ 2(a + 3) = 4a/2(a+3) = 2a/(a+3)

x1 =  (-6 - 2(2a+3))/ 2(a + 3) = (-4a - 12)/2(a+3) = -4(a+3)/2(a+3) = -2

D = 0 одно решение

(2(2a + 3))^2 = 0

a = -3/2

x = -6/2(-3/2 + 3) = -6/3 = -2

в других

2 решения  (-6 +- 2(2a+3))/ 2(a + 3)

при a = -3 это не квадратное а линейное

линейное уравнение 4a - 6x = -12 - 6x = 0   x = -2

ответ a = -3/2, -3 одно решение , остальные 2 решения