.1. Решите уравнения: 1) 42−20=0; 2) 52+9=0; 3) 2−5−24=0; 4) 72−2−9=0; 5) 72−6+2=0; 6) 162−8+1=0.
2. Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.
3. Известно, что 1 и 2 – корни уравнения 2+12+6=0. Не решая уравнения, найдите значение выражения 122+221.
4. Решите уравнение: |2+3−5|=2+1.
Сделаем замену переменной: у = 2^х. Тогда уравнение перепишется в виде (k - 1) * y^2 - 4y + (k + 2) = 0. Найдем четверть дискриминанта:
D/4 = 4 - (k - 1)(k + 2) = -k^2 - k + 6.
Если уравнение имеет один или более корней, то дискриминант должен быть неотрицательным. Имеем неравенство -k^2 - k + 6 >= 0, отсюда -3 <= k <= 2.
Находим корни:
y1 = (2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1);
y2 = (2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1).
Необходимо, чтобы хотя бы один из корней был положительным, иначе уравнение у = 2^x не имеет корней. Имеем два неравенства:
1. 2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0;
2. 2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0.
Решение первого очевидно: 1 < k <= 2.
Со вторым придется повозиться и разбить его на две системы:
1. 0 < √(-k^2 - k + 6) < 2 и k - 1 > 0.
2. √(-k^2 - k + 6) > 2 и k - 1 < 0.
Решение первой системы: -3 <= k < -2 и 1 < k <= 2.
Решение второй системы: -2 < k < 1.
Решение неравенства - объединение двух промежутков. Значит ответ: -3 <= k < -2 и -2 < k <= 2.
В решении.
Объяснение:
Решить системы уравнений алгебраического сложения:
Смысл метода алгебраического сложения в том, чтобы при сложении уравнений одно неизвестное взаимно уничтожилось. То есть, чтобы коэффициенты при неизвестном каком-то были одинаковыми, но с противоположными знаками. Для того, чтобы этого добиться, преобразовывают уравнения, можно умножать обе части уравнения на одно и то же число, делить.
а)
2x + y = 11
5x - 2y = 6
В данной системе нужно первое уравнение умножить на 2:
4х + 2у = 22
5х - 2у = 6
Складываем уравнения:
4х + 5х + 2у - 2у = 22 + 6
9х = 28
х = 28/9
х = 3 и 1/9;
Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:
2x + y = 11
у = 11 - 2х
у = 11 - 2*28/9
у = 11 - 56/9
у = 11 - 6 и 2/9
у = 4 и 7/9.
Решение системы уравнений (3 и 1/9; 4 и 7/9).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
б)
3х - у = 9
7х + 2y = 6
В данной системе нужно первое уравнение умножить на 2:
6х - 2у = 18
7х + 2у = 6
Складываем уравнения:
6х + 7х -2у + 2у = 18 + 6
13х = 24
х = 24/13
х = 1 и 11/13;
Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:
7х + 2у = 6
2у = 6 - 7х
2у = 6 - 7*24/13
2у = 6 - 168/13
2у = 6 - 12 и 12/13
2у = -6 и 12/13
у = (-6 и 12/13) : 2
у = - 45/13
у = - 3 и 6/13.
Решение системы уравнений (1 и 11/13; -3 и 6/13).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
в)
4x-3y = -15
5x+3y = -3
В данной системе ничего преобразовывать не нужно.
Складываем уравнения:
4х + 5х - 3у + 3у = -15 - 3
9х = -18
х = -18/9
х = -2;
Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:
5x+3y = -3
3у = -3 - 5*х
3у = -3 - 5*(-2)
3у = -3 + 10
3у = 7
у = 7/3
у = 2 и 1/3.
Решение системы уравнений (-2; 2 и 1/3).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
г)
2х - 6у = 1
4х – 6у = 7
В данной системе нужно любое из двух уравнений умножить на -1.
-2х + 6у = -1
4х - 6у = 7
Складываем уравнения:
-2х + 4х + 6у - 6у = -1 + 7
2х = 6
х = 3;
Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:
2х - 6у = 1
-6у = 1 - 2х
6у = 2х - 1
6у = 2*3 - 1
6у = 5
у = 5/6
у = 5/6.
Решение системы уравнений (3; 5/6).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
б)
5х - 2у = 6
7х + 2у = 6
В данной системе ничего преобразовывать не нужно.
Складываем уравнения:
5х + 7х - 2у + 2у = 6 + 6
12х = 12
х = 1;
Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:
7х + 2у = 6
2у = 6 - 7х
2у = 6 - 7*1
2у = -1
у = -0,5.
Решение системы уравнений (1; -0,5).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
г)
2х - 5у = 1
4х - 5у = 7
В данной системе нужно любое из двух уравнений умножить на -1.
-2х + 5у = -1
4х - 5у = 7
-2х + 4х + 5у - 5у = -1 + 7
2х = 6
х = 3;
Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:
2х - 5у = 1
-5у = 1 - 2х
5у = 2х - 1
5у = 2*3 - 1
5у = 5
у = 1.
Решение системы уравнений (3; 1).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.