1) Сума двох чисел дорівнює 2, а іх різниця 8. Скласти систему до задачі.
2) 10% першого числа більше 15% другого числа. Скласти рівняння до задачі.
3) Швидкість катера за течією річки дорівнює 14 км/год, а проти течііі- 10 км/год. Знайдіть власну швидкість катера.
4) Сума двох чисел 8, а різниця іх квадратів дорівнює 16. Знайти ці числа.

Подобно звёздам на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. Не одну тысячу лет к ним приковано внимание математиков – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. Евклид и Эратосфен, Эйлер и Гаусс, Рамануджан и Харди, Чебышёв и Виноградов... Этот перечень выдающихся учёных занимавшихся простыми числами и задачами с ними связанными можно продолжать и продолжать.

На страницах нашего сайта уже шла речь о бесконечности ряда простых чисел и некоторых смежных вопросах. При этом нас интересовали все простые числа сразу. Иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. Именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее. 

Простые числа-близнецы

Два простых числа, которые отличаются на 2, как

5  и  7,

11  и  13,

17  и  19,

получили образное название близнецы (эти числа называют ещё парными простыми числами). Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже тройня простых чисел – это числа

3,  5,  7.

Ну а сколько всего существует близнецов – современной математике неизвестно.

Числа-близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка подправив решето Эратосфена. Если для каждого вычеркнутого Эратосфена числа n вычеркнуть так же число n – 2, то в таблице останутся лишь такие числа р, для которых число р + 2 тоже простое. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел:

3  и  5,

5  и  7,

11  и  13,

17  и  19,

29  и  31,

41  и  43,

59  и  61,

71  и  73.

С парами близнецов в пределах 10000 можно познакомиться на страницах нашего сайта в Таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000, где они выделены красным цветом.

Вот лишь некоторые свойства этих чисел, которых лежат на самой поверхности океана простых чисел:

все пары простых близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n ± 1;при делении на 30 все пары близнецов, кроме первых двух, дают следующие пары остатков:

11  и  13,

17  и  19,

29  и  1;

по мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше. Так, в пределах первой сотни натуральных чисел существуют восемь пар близнецов, а в пределах пяти сотен с 9501 по 10000 – шесть.

Предполагается, что пар простых чисел-близнецов бесконечно много, но это не доказано. Исследования, проводимые в "глубоком числовом космосе", продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. На данный момент рекордсменами считаются близнецы

3756801695685 · 2666669 ± 1,

которые были обнаружены 24 декабря 2011 года в рамках реализации проекта PrimeGrid. Для записи каждого из этих чисел понадобиться 200700 цифр. 

 

Простые числа-триплеты

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются –

2, 3, 5  и  3, 5, 7.

Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел

p, p+2, p+6  или  p, p+4, p+6

называется триплетом. 

Простые числа-триплеты в пределах первой сотни:

  5,  7, 11;

  7, 11, 13;

11, 13, 17;

13, 17, 19;

17, 19, 23;

37, 41, 43;

41, 43, 47;

67, 71, 73.

 

 

Пусть масса первого раствора х  г, тогда в этом растворе
х:100·4= 0,04х г соли.
Масса второго раствора (х+3496) г, в этом растворе
(х+3496):100·73=0,73(х+3496)

Масса нового раствора равна сумме масс первого и второго растворов, т.е. х+(х+3496)=2х+3496
Масса соли в нем 0,48(2х+3496) равна сумме масс соли первого и второго растворов 0,04х+0,73(х+3496).
Уравнение:
0,48·(2х + 3496) = 0,04х+0,73·(х+3496);
0,96х + 1678,08 = 0,04х + 0,73х + 2552,08;
0,96х - 0,04х - 0, 73х = 2552,08 - 1678,08;
0,19х = 874;
х = 4600.
х+3496=4600+3496=8096 г
 
О т в е т. Масса второго раствора 8096 г