1 вариант 1. решите задачу с уравнения.
Ширина прямоугольника на 4 см меньше длины, а его площадь 60 см². Найдите стороны и периметр прямоугольника.
2. Решите задачу с уравнения. 1 Лодка 2 км по течению и 1 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Пусть длина прямоугольника равна Х см. Тогда ширина будет равна (Х - 4) см, так как ширина меньше длины на 4 см.
Известно, что площадь прямоугольника равна 60 см². Объем прямоугольника является произведением его ширины на его длину, поэтому мы можем записать уравнение:
(Х - 4) * Х = 60.
Теперь давайте решим это уравнение:
Х² - 4Х = 60.
Х² - 4Х - 60 = 0.
Для решения этого квадратного уравнения мы можем использовать факторизацию или формулу дискриминанта. Я воспользуюсь формулой дискриминанта, так как она работает для всех квадратных уравнений.
Дискриминант (D) вычисляется по формуле D = b² - 4ac, где a, b и c являются коэффициентами из нашего уравнения.
В нашем случае a = 1, b = -4 и c = -60. Теперь подставим эти значения в формулу дискриминанта:
D = (-4)² - 4 * 1 * (-60).
D = 16 + 240.
D = 256.
Дискриминант равен 256. Теперь мы можем рассмотреть три возможных случая:
1) Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения.
2) Если D = 0, то уравнение имеет одно решение.
3) Если D < 0, то уравнение не имеет решений.
В нашем случае D > 0, поэтому у нас есть два различных решения.
Формула для нахождения корней этого уравнения выглядит следующим образом:
Х₁,₂ = (-b ± √D) / (2a).
Подставим значения a = 1, b = -4 и D = 256 в формулу:
Х₁,₂ = (-(-4) ± √256) / (2 * 1).
Х₁,₂ = (4 ± √256) / 2.
Х₁,₂ = (4 ± 16) / 2.
Теперь рассмотрим два случая:
1) Х₁ = (4 + 16) / 2 = 20 / 2 = 10.
2) Х₂ = (4 - 16) / 2 = -12 / 2 = -6.
Так как длина не может быть отрицательной, мы отбрасываем решение Х₂ = -6.
Получается, что длина прямоугольника равна 10 см.
Теперь мы можем вычислить ширину прямоугольника, используя уравнение Х - 4.
Ширина = 10 - 4 = 6 см.
Последний шаг состоит в вычислении периметра прямоугольника. Периметр равен сумме длины и ширины, умноженной на 2:
Периметр = (длина + ширина) * 2 = (10 + 6) * 2 = 16 * 2 = 32 см.
Таким образом, длина прямоугольника равна 10 см, ширина равна 6 см, а периметр равен 32 см.
Перейдем ко второй задаче с уравнением о лодке и течении реки.
Пусть собственная скорость лодки будет Х км/ч.
Затем находим время (в часах), которое затратит лодка, чтобы пройти 2 км против течения реки, используя формулу расстояния = скорость * время:
2 = (Х - 2) * Время.
Аналогично, время (в часах), чтобы пройти 1 км вниз по течению реки:
1 = (Х + 2) * Время.
Отметим, что лодка потратила на весь путь 1 час:
(Х - 2) * Время + (Х + 2) * Время = 1.
Теперь мы имеем систему из трех уравнений:
1) 2 = (Х - 2) * Время.
2) 1 = (Х + 2) * Время.
3) (Х - 2) * Время + (Х + 2) * Время = 1.
Используем уравнение 3 для упрощения:
2Х * Время = 1.
Теперь мы можем разделить обе части этого уравнения на Время, чтобы избавиться от времени:
2Х = 1 / Время.
Заметим, что 1 / Время представляет собой скорость течения реки.
Поэтому мы можем уравнять это значение с 2 км/ч, так как в условии задачи сказано, что скорость течения реки равна 2 км/ч:
2Х = 2.
Теперь поделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить Х:
Х = 1.
Таким образом, собственная скорость лодки равна 1 км/ч.
Я надеюсь, что мое объяснение было понятным и позволило вам успешно решить данные задачи с уравнениями. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!