1. Вычисли первые четыре члена и 10-й член арифметической прогрессии (an),
если общая формула: an = 6n − 2.
a1 =
a2 =
a3 =
a4 =
a10 =
2.Дано уравнение: (x−a)(x2−8x+15)=0
Найди те значения , при которых уравнение имеет три разных корня, и они образуют арифметическую прогрессию.
Вводи возможные значения a
а в возрастающей последовательности:
1.
2.
3.
Дополнительный во чему равны корни квадратного уравнения?
x2−8x+15=0 (первым пиши меньший корень). x1 = ; x2 = .
Согласно теореме Безу остаток от деления полинома на двучлен равен значению полинома в корне этого двучлена,в данной задаче на полином G(x) никаких дополнительных условий не наложено,значит он может быть неприводимым над полем вещественных чисел,однако все равно раскладываться в произведение двучленов вида
Где
комплексно сопряжен z.
Полином G(x) примет вид
Re(z)-вещественная часть z,
-модуль числа z.
Очевидно,что подставляя получившиеся корни в исходный многочлен используя теорему Безу вычисление получается мягко говоря неудобным.
Аналогичная ситуация со схемой Горнера.
А вот при делении полиномов столбиком исходный многочлен представим в виде:
Очевидно,что степень остатка должна быть меньше степени делителя и мы можем остаток разделить на полином G(x),домноженный на (-a-3),тогда для того чтобы остаток от деления был равен нулю,то есть чтобы F(x) делился на G(x) должна выполняться система:
Которая не имеет решений ни в поле действительных,ни в поле комплексных чисел.
Значит ни при каких значениях a полином G(x) не является делителем F(x).
Понятно, что это квадратное уравнение. А когда квадратное уравнение будет иметь 2 различных отрицательных корня? Правильно, когда
>-b, в данном случае b-коэффициент перед x.
Приступаем к решениею, приведем уравнение к приведенному(разделим на 2)
x^2+1,5x+0,5a=0
Найдём дискриминант
Т.к. в нашем уравнени b-отрицательное число (-1,5), то корню из дискриминанта достаточно принимать значения на промежутке
Потому что, если корень из дискриминанта будет больше 1,5 , то корни получатся либо положительными, либо равными нулю, а этого нам не надо.
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня
2,25-2a<2,25
-2a<0
a>0
Значит, мы получим 2 различных отрицательных корня, если a>0.