1.Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями:
а) у = х, х = 1, х = 2, у = 0;
б) у = 12cos х, у = 0, х = 12, х = 32;
в) у = х2, у = -х2 + 2.

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной
параболами у = х2 - 2х и у = - х2.

1 задание а) и б) без рисунка, задания в) и 2 с рисунком.

ответ: 84 мин.

Объяснение:

Обозначим длину стадиона символом S. По условию задачи можно считать, что изначально трое бегунов стартовали из одной точки.

2. Заметим, что бегуны, двигающиеся в противоположных направлениях, встречаются в определённый момент времени тогда и только тогда, когда к этому времени они суммарно пробежали расстояние, кратное S.

Действительно, в первый момент встречи после старта бегуны суммарно пробегут два отрезка пути, сумма длин которых составит длину стадиона S. После этого до второй встречи эти два бегуна пробегут ещё два отрезка пути, сумма длин которых составит S, а значит, от момента старта до момента второй встречи они пробегут суммарно 2S. И так далее, на n-ый момент встречи они суммарно пробегут расстояние, равное nS.

3. Условимся называть бегуна, пробегающего полный круг стадиона за время 7 мин первым, пробегающего полный круг стадиона за время 3 мин вторым, и, наконец, пробегающего полный круг за 4 мин третьим. Заметим, что три бегуна встретятся в один и тот же момент тогда и только тогда, когда к этому моменту времени встретились первый и третий бегуны и второй и третий бегуны.

4. Пусть время t — искомое время встречи. Тогда, так как первый и третий бегуны встретились через время t, получаем:

S7⋅t+S4⋅t=nS, где n — натуральное.

Аналогично, так как через время t встретились второй и третий бегуны, получаем:

S3⋅t+S4⋅t=mS, где m — натуральное.

5. Из полученных уравнений находим:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪t=n17+14,t=m13+14.

Исключая переменную t, получим:

nm=17+1413+14=(7+4)⋅3(3+4)⋅7=3349.

Так как числа 33 и 49 взаимно просты, получаем, что n и m имеют вид:

n=33⋅k,

m=49⋅k,

где k — произвольное натуральное число.

6. Таким образом, для момента встречи t мы получаем следующую формулу:

t=n17+14=(7+4)⋅3⋅k17+14=7⋅3⋅4⋅k,

где параметр k соответствует номеру встречи.

7. Выбирая k=1, получаем, что ближайшая встреча произойдёт через t=84 мин.

ответ: 931

Объяснение:

1. Заметим, что 315 имеет следующее разложение на простые множители:

315=32⋅5⋅7,

отсюда следует, что числа x, y, z состоят из тех же простых чисел 3, 5, 7:

 x=3a1⋅5a2⋅7a3;

 y=3b1⋅5b2⋅7b3;

 z=3c1⋅5c2⋅7c3.

При этом  

 0≤a1,b1,c1≤2;

 0≤a2,b2,c2≤1;

 0≤a3,b3,c3≤1.

 2. По правилу нахождения наименьшего общего кратного получим

НОК(3a1⋅5a2⋅7a3;3b1⋅5b2⋅7b3;3c1⋅5c2⋅7c3)=3max(a1,b1,c1)⋅5max(a2,b2,c2)⋅7max(a3,b3,c3).

 3. Итак, задача свелась к нахождению числа решений системы уравнений:

⎧⎩⎨⎪⎪max(a1,b1,c1)=2;max(a2,b2,c2)=1;max(a3,b3,c3)=1.

Так как каждое уравнение содержит разные неизвестные, то для того чтобы найти количество решений системы, нужно найти количество решений каждого из уравнений и перемножить полученные значения.

 4.  Начнём с первого уравнения. Требуется найти количество целых неотрицательных чисел a1,b1,c1, удовлетворяющих уравнению max(a1,b1,c1)=2.

 Напомним, что 0≤a1,b1,c1≤2. Отсюда следует, что тройка чисел a1,b1,c1 является решением уравнения, если хотя бы одно из чисел a1,b1,c1 равно 2. Для того чтобы посчитать число таких троек, вычтем из количества всевозможных троек чисел a1,b1,c1 с условием 0≤a1,b1,c1≤2 (таких троек ровно 33=27 штук) число троек a1,b1,c1 с условием 0≤a1,b1,c1≤2, в которых 2 ни разу не встречается (таких троек ровно 23=8 штук). Отсюда находим, что первое уравнение системы имеет 27−8=19 решений.

5. Точно так же поступим при подсчёте числа решений второго уравнения системы. Требуется найти количество целых неотрицательных чисел a2,b2,c2, удовлетворяющих уравнению max(a2,b2,c3)=1.

Напомним, что  0≤a2,b2,c2≤1.

Тройка чисел a2,b2,c2 является решением уравнения, если хотя бы одно из чисел  a2,b2,c2 равно 1. Но только одна тройка чисел a2,b2,c2 не удовлетворяет этому условию, это тройка a2=b2=c3=0. Все остальные тройки хотя бы одну 1 содержат. Поскольку троек чисел a2,b2,c2 с условием 0≤a2,b2,c2≤1 ровно 23=8 штук, то второе уравнение системы имеет 8−1=7 решений. Точно так же получаем, что и третье уравнение системы имеет 7 решений.

 6. Для того чтобы подсчитать число решений системы, а значит, и исходного уравнения, остаётся перемножить полученные нами числа. Имеем

 19⋅7⋅7=931.

Итак, исходное уравнение имеет ровно 931 решение.

 Правильный ответ: 931 решение.