1.Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?
а)2; 6; 18; 54;
б)80; 40; 20; 5;
в)4; 8; 32; 64;
г)2; -10; 50; 250.
2.Дев'ятий член геометричної прогресії дорівнює 12, а знаменник дорівнює 3. Знайдіть десятий член геометричної прогресії.
а)15
б)36
в)39
г)108
3.Знайдемо знаменник геометричної прогресії: 3; -6; 12; ... .
а)2
б-2
в)-3
г)3
4.Знайдіть третій член геометричної прогресії (bп), якщо b1 = -2, q = -3.
5.Знайдемо суму перших восьми членів геометричної прогресії (bn): 3; -6; 12; ... .
6.Знайдіть третій член геометричної прогресії, якщо вона задана формулою загального члена bп = 3 ∙ 2^(n+1), (^-степінь)
7.Знайдемо перший член геометричної прогресії, якщо її четвертий член утричі більший за третій, а сума перших п'яти членів дорівню
8 км/ч
Объяснение:
Пусть V - скорость первого бегуна, S - второго, а К - длина круга. Запишем условие задачи в алгебраическом виде:
V/4 + 1 = K
S/6 = K
V + 10 = S
приравняем К и получим из первых двух уравнений одно:
V/4 + 1 = S/6
Подставим вместо S -> V+10, получим:
V/4 + 1 = (V+10)/6
(V + 4)/4 = (V+10)/6
3*(V+4) - 2*(V+10) = 0
3V + 12 - 2V - 20 = 0
V = 8
(для проверки можете посчитать также S = V + 10 = 8 + 10 = 18; а также K = S/6 = 18/6 = 3. Если V = 8, то K = V/4 + 1 = 2+1 = 3, то есть задача решена верна, но условие от нас проверки и всех этих расчетов не требует).
Для решения данной задачи можно воспользоваться 3мя фактами:
1) Всего существует 14 разных возможных остатков от деления на 14: 0, 1, 2, ..., 12, 13.
2) Если разность двух чисел кратна n, то остатки этих чисел от деления на n равны.
Док-во: Пусть x1 = an + b, а х2 = сn + d (a, c, n- целые; b, d- натуральные, меньше n, так как это остатки х1 и х2 соответственно от деления на n). Дан факт, что x1 - x2 кратно n, то есть, имеет вид z*n, где z- целое число.
x1 - x2 = z * n
an + b - cn - d = zn
b - d = zn - an + cn
b - d = n (z - a + c). Правая часть кратна n, значит и выражение (b - d) кратно n. Возьмем данное выражение по модулю n
b - d ≡ 0 (mod n)
b ≡ d (mod n), ч.т.д.
3) Необобщенная Теорема Дирихле гласит: "Если взять n кроликов и посадить их в (n-1) клеток, то обязательно найдется хотя бы 1 клетка, в которой будет хотя бы 2 кролика".
Док-во от противного: Пусть, при данном условии, не найдется ни одна клетка с хотя бы двумя кроликами. Тогда, поскольку клеток (n-1), а кролик в одной клетке может быть максимум 1, то максимум может быть 1*(n-1) = n-1 кроликов, а у нас их n. Противоречие.
Итого, получаем такой вывод, что вместо кроликов можно взять данные нам числа, а вместо клеток- остатки от деления на 14. Тогда, если не найдется клеток, в которых будет хотя бы 2 числа, то максимум в одной клетке может быть 1 число, а клеток 14. Тогда максимум может быть 14 чисел, а у нас их 15. Противоречие.
Полученное противоречие показывает, что среди 15ти целых чисел всегда найдутся 2, разность которых кратна 14ти.