Для решения данной задачи необходимо найти значения параметра b, при которых данное неравенство будет выполняться для всех значений переменной x.
Для начала, обратимся к свойствам квадратного трёхчлена. Если у нас есть квадратный трёхчлен вида ax^2 + bx + c, то его график представляет собой параболу, которая может быть направлена вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента a. Если коэффициент a положительный, то парабола направлена вверх; если отрицательный, то парабола направлена вниз.
В данном уравнении имеем квадратный трёхчлен x^2 + 2bx - (b-6), поэтому коэффициент a равен 1.
Чтобы парабола была направлена вверх и неравенство выполнялось для всех значений x, необходимо, чтобы дискриминант квадратного трёхчлена (D = b^2 - 4ac) был меньше нуля.
В нашем случае, а = 1 и с = -(b-6), поэтому положим:
Для решения данного неравенства воспользуемся методом представления в виде произведения двух линейных множителей:
(b - 4)(b + 6) < 0
Теперь найдем значения b, при которых данное неравенство выполняется.
1. Когда (b - 4) < 0 и (b + 6) > 0:
b < 4 и b > -6
2. Когда (b - 4) > 0 и (b + 6) < 0:
b > 4 и b < -6
Теперь объединим полученные интервалы:
b < 4 и b > -6, или -6 < b < 4
Таким образом, при значениях параметра b, принадлежащих интервалу (-6, 4), неравенство x^2 + 2bx - (b-6) > 0 будет выполняться для всех значений переменной x.
Где:
- r - годовая процентная ставка дохода альтернативного вложения капитала (в данном случае 10%)
- n - количество периодов (в данном случае 6, так как облигация выпускается на 3 года и процентная ставка возрастает каждые полгода)
- Сумма всех купонных платежей - сумма всех купонных платежей по облигации за весь срок обращения (в данном случае 3 года)
- Последний купонный платеж - сумма последнего купонного платежа по облигации
Сначала посчитаем сумму всех купонных платежей. Купонный доход выплачивается каждые полгода, поэтому общее количество купонных платежей равно 6 (6 полугодий за 3 года). Первоначальная купонная ставка составляет 8% годовых и увеличивается на 2% каждые полгода. Поэтому мы можем рассчитать сумму всех купонных платежей следующим образом:
Теперь посчитаем сумму последнего купонного платежа. Это будет купонный платеж, выплачиваемый по достижении последнего полугодия. Так как купонная ставка возрастает каждые полгода, мы можем использовать последнюю купонную ставку для расчета последнего купонного платежа:
Для начала, обратимся к свойствам квадратного трёхчлена. Если у нас есть квадратный трёхчлен вида ax^2 + bx + c, то его график представляет собой параболу, которая может быть направлена вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента a. Если коэффициент a положительный, то парабола направлена вверх; если отрицательный, то парабола направлена вниз.
В данном уравнении имеем квадратный трёхчлен x^2 + 2bx - (b-6), поэтому коэффициент a равен 1.
Чтобы парабола была направлена вверх и неравенство выполнялось для всех значений x, необходимо, чтобы дискриминант квадратного трёхчлена (D = b^2 - 4ac) был меньше нуля.
В нашем случае, а = 1 и с = -(b-6), поэтому положим:
D < 0
b^2 - 4ac < 0
b^2 - 4(1)(-(b-6)) < 0
b^2 + 4b - 24 < 0
Решим это неравенство:
b^2 + 4b - 24 < 0
Для решения данного неравенства воспользуемся методом представления в виде произведения двух линейных множителей:
(b - 4)(b + 6) < 0
Теперь найдем значения b, при которых данное неравенство выполняется.
1. Когда (b - 4) < 0 и (b + 6) > 0:
b < 4 и b > -6
2. Когда (b - 4) > 0 и (b + 6) < 0:
b > 4 и b < -6
Теперь объединим полученные интервалы:
b < 4 и b > -6, или -6 < b < 4
Таким образом, при значениях параметра b, принадлежащих интервалу (-6, 4), неравенство x^2 + 2bx - (b-6) > 0 будет выполняться для всех значений переменной x.
Цена облигации = (Сумма всех купонных платежей / (1 + r))^n + (Последний купонный платеж / (1 + r))^n
Где:
- r - годовая процентная ставка дохода альтернативного вложения капитала (в данном случае 10%)
- n - количество периодов (в данном случае 6, так как облигация выпускается на 3 года и процентная ставка возрастает каждые полгода)
- Сумма всех купонных платежей - сумма всех купонных платежей по облигации за весь срок обращения (в данном случае 3 года)
- Последний купонный платеж - сумма последнего купонного платежа по облигации
Сначала посчитаем сумму всех купонных платежей. Купонный доход выплачивается каждые полгода, поэтому общее количество купонных платежей равно 6 (6 полугодий за 3 года). Первоначальная купонная ставка составляет 8% годовых и увеличивается на 2% каждые полгода. Поэтому мы можем рассчитать сумму всех купонных платежей следующим образом:
Купон 1 = Номинал * (Купонная ставка / 100) = 50 * (8 / 100)
Купон 2 = Номинал * ((Купонная ставка + 2) / 100) = 50 * (10 / 100)
Купон 3 = Номинал * ((Купонная ставка + 4) / 100) = 50 * (12 / 100)
Купон 4 = Номинал * ((Купонная ставка + 6) / 100) = 50 * (14 / 100)
Купон 5 = Номинал * ((Купонная ставка + 8) / 100) = 50 * (16 / 100)
Купон 6 = Номинал * ((Купонная ставка + 10) / 100) = 50 * (18 / 100)
Сумма всех купонных платежей = Купон 1 + Купон 2 + Купон 3 + Купон 4 + Купон 5 + Купон 6
= 50 * (8 / 100) + 50 * (10 / 100) + 50 * (12 / 100) + 50 * (14 / 100) + 50 * (16 / 100) + 50 * (18 / 100)
= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
= 39 рублей
Теперь посчитаем сумму последнего купонного платежа. Это будет купонный платеж, выплачиваемый по достижении последнего полугодия. Так как купонная ставка возрастает каждые полгода, мы можем использовать последнюю купонную ставку для расчета последнего купонного платежа:
Последний купонный платеж = Номинал * ((Купонная ставка + 10) / 100) = 50 * (18 / 100)
= 9 рублей
Теперь мы можем использовать формулу для вычисления цены облигации:
Цена облигации = (39 / (1 + 0.1))^6 + (9 / (1 + 0.1))^6
= (39 / 1.1)^6 + (9 / 1.1)^6
= 39.0909^6 + 8.1818^6
= 27.1428 + 2.4242
= 29.567 рублей
Таким образом, инвестор будет готов приобрести эту облигацию за 29.567 рублей.