В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
BogdanMana
BogdanMana
23.06.2021 17:01 •  Алгебра

11 класс. Уравнение с параметром. ответ — [2,5; 3,5], у меня не сходится (получается [2,8; 6]).

Показать ответ
Ответ:
ERKO20
ERKO20
11.10.2020 14:11

рассмотрим наше уравнение:

\displaystyle 4cos^43x-4(a-3)cos^23x-(2a-5)=0

выполним замену cos²3x=t; t≥0

\displaystyle 4t^2-4(a-3)t-(2a-5)=0

чтобы уравнение имело хотя бы один корень надо чтобы D≥0

\displaystyle D=16(a-3)^2+4*4(2a-5)=16(a-2)^2\geq 0

Это неравенство выполняется для любых a

тогда проверим корни, необходимо чтобы t≥0

\displaystyle t_{1.2}=\frac{4(a-3)\pm 4|a-2|}{8}=\frac{(a-3)\pm |a-2|}{2}

рассмотрим первый корень

\displaystyle t_1=\frac{(a-3)+|a-2|}{2}\\\\1.1.a\geq 2\\\\t_1=\frac{a-3+a-2}{2}=\frac{2a-5}{2}\geq 0\\\\a\geq 2.5\\\\1.2. a

значит при а≥2.5 мы получим один положительный корень (относительно t)

проверим второй корень

\displaystyle t_2=\frac{(a-3)-|a-2|}{2}\\\\2.1. a\geq 2\\\\t_2=\frac{a-3-a+2}{2}=-\frac{1}{2}\\\\2.2. a

тут положительных корней не получим.

значит рассмотрим один положительный корень t=(2a-5)/2.  при а≥2,5

выполним обратную замену

\displaystyle cos^23x=\frac{2a-5}{2}\\\\cos3x=\pm\sqrt{\frac{2a-5}{1}}\\\\|cos3x|\leq 1; \pm\sqrt{\frac{2a-5}{2}}\leq 1

рассмотрим положительный корень

\displaystyle \sqrt{\frac{2a-5}{2}}\leq 1; \frac{2a-5}{2}\leq 1; 2a-5\leq 2; a\leq 3.5

рассмотрим отрицательный корень

\displaystyle -\sqrt{\frac{2a-5}{2}}\leq 1; \sqrt{\frac{2a-5}{2}}\geq -1

выполняется для всех а≥2.5

Собираем все вместе 2,5≤а≤3,5

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота