11. The line 3x +1=0 is the axis of symmetry of the parabola y=-2x? + mx - 1. Find the
maximum value of the function.

Свойства неравенств:

1. Если к обеим частям верного неравенства прибавить (отнять) одно и то же число, то получится верное неравенство.

2. Если обе части верного неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то неравенство останется верным; если - на отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположный и оно станет верным.

Т.к. а > b, то:

18а > 18b, т.к. умножили на положительное число;

-6,7а < -6,7b, т.к. умножили на отрицательное число;

b < a,  т.е. -3,7b > -3,7a, т.к. умножили на отрицательное число.

1) y = x^2 - 3x; y = 4
Точки пересечения, то есть пределы интегрирования:
x^2 - 3x = 4
x^2 - 3x - 4 = 0
(x + 1)(x - 4) = 0
x1 = -1; x2 = 4
S = Int(-1;4) (4-(x^2-3x)) dx = Int(-1;4) (4-x^2+3x) dx =
= (4x-x^3/3+3x^2/2) | (-1;4) = (4*4-4^3/3+3*4^2/2) - (-4+1/3+3/2) =
= 16-64/3+24+4-1/3-3/2 = 44-3/2-65/3 = 42+1/2-21-2/3 = 21-1/6 = 20 5/6

2) xy = 20; x^2 + y^2 = 41
Первая кривая - это гипербола y = 20/x
Вторая кривая - это окружность с центром О(0;0) и радиусом R=√41.
Ищем точки пересечения
{ y = 20/x
{ x^2 + 400/x^2 = 41
x^4 - 41x^2 + 400 = 0
Биквадратное уравнение.
(x^2 - 16)(x^2 - 25) = 0
(x - 4)(x + 4)(x - 5)(x + 5) = 0
x1 = 4; y1 = 20/4 = 5
x2 = -4; y2 = -20/4 = -5
x3 = 5; y3 = 20/5 = 4
x4 = -5; y3 = -20/5 = -4
На рисунке видно, что площадь состоит из двух одинаковых кусков.
Площадь равна удвоенному интегралу от 4 до 5.
S = 2*Int(4;5) (√(41-x^2) - 20/x) dx = 
= 2*[x/2*√(41-x^2) + 41/2*arcsin(x/√41) - 20ln|x| ] | (4;5) =
= 2*[5/2*√(41-25) + 41/2*arcsin(5/√41) - 20ln(5) -
- 4/2*√(41-16) - 41/2*arcsin(4/√41) + 20ln(4)] =
= 2*[5/2*√16 + 41/2*arcsin(5/√41) - 2√25 - 41/2*arcsin(4/√41) + 20ln(4/5)] =
= 5*4 + 41arcsin(5/√41) - 4*5 - 41arcsin(4/√41) + 40ln(4/5) =
= 41*(arcsin(5/√41) - arcsin(4/√41)) + 40ln(0,8) ~ 0,148