13.11. Решите неравенство: 1) 0,8х (5х – 0,8) +0,04x < 4х2 - 12;
2) 9х2 - 119x (х – 2) - 3;
3) (4х – 5) (6 – 3х) — 4 < (1 - 2x) (7 + 6x);
4) (1,8х + 1) (5х – 1) - 2,2x > 9х2 – 4.
13.12. Докажите тождество:
1) (7x-3) (4 - 8x) + 2x(28х - 26) =-12;
2) 1,1х?(х2 - 10) - x(1,1х3 - 9x) =-2х2;
3) (-y3 + 5y)2y - 10y?(1 +0,2y?) = -4y',
4) (2,5а +b2) (-4а) + 2а(5а - b2) = -6ab2.
Согласно теореме Безу остаток от деления полинома на двучлен равен значению полинома в корне этого двучлена,в данной задаче на полином G(x) никаких дополнительных условий не наложено,значит он может быть неприводимым над полем вещественных чисел,однако все равно раскладываться в произведение двучленов вида
Где
комплексно сопряжен z.
Полином G(x) примет вид
Re(z)-вещественная часть z,
-модуль числа z.
Очевидно,что подставляя получившиеся корни в исходный многочлен используя теорему Безу вычисление получается мягко говоря неудобным.
Аналогичная ситуация со схемой Горнера.
А вот при делении полиномов столбиком исходный многочлен представим в виде:
Очевидно,что степень остатка должна быть меньше степени делителя и мы можем остаток разделить на полином G(x),домноженный на (-a-3),тогда для того чтобы остаток от деления был равен нулю,то есть чтобы F(x) делился на G(x) должна выполняться система:
Которая не имеет решений ни в поле действительных,ни в поле комплексных чисел.
Значит ни при каких значениях a полином G(x) не является делителем F(x).
Понятно, что это квадратное уравнение. А когда квадратное уравнение будет иметь 2 различных отрицательных корня? Правильно, когда
>-b, в данном случае b-коэффициент перед x.
Приступаем к решениею, приведем уравнение к приведенному(разделим на 2)
x^2+1,5x+0,5a=0
Найдём дискриминант
Т.к. в нашем уравнени b-отрицательное число (-1,5), то корню из дискриминанта достаточно принимать значения на промежутке
Потому что, если корень из дискриминанта будет больше 1,5 , то корни получатся либо положительными, либо равными нулю, а этого нам не надо.
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня
2,25-2a<2,25
-2a<0
a>0
Значит, мы получим 2 различных отрицательных корня, если a>0.