В данном случае, удобнее решать не графически. С первого уравнения y=(4-x)/a и y=(4a-x)/a Подсталвяя первую и вторую “y” во второе, откуда {x^2+(4-a)^2/a^2=9 {x^2+(4a-x)^2/a^2=9
Два квадратных уравнения, должны иметь решения.
{x^2(a^2+1)-8x+16-9a^2=0 {x^2(a^2+1)-8ax+7a^2=0
{D1=64-4*(a^2+1)*(16-9a^2)>0 {D2=64a^2-4(a^2+1)*7a^2>0 Условие D>0 ( два корня )
{9a^4>7a^2 {9a^2>7a^4
{9a^2-7>0 {9-7a^2>0 При a=1 прямые совпадают, значит a не равна 1 Откуда a E ( -3/sqrt(7), -7/sqrt(3)) U (7/sqrt(3), 1) U (1, 3/sqrt(7))
1. Разложим на множители первое уравнение:
(x+ay-4)(x+ay-4a) = 0.
У нас есть произведение двух скобок, и оно равно нулю. Таким образом, мы можем получить нулевое значение только в двух случаях:
- один из множителей равен нулю,
- оба множителя равны нулю.
Исследуем первый случай:
2. Множитель (x+ay-4) равен нулю:
x + ay - 4 = 0.
Для нахождения решения данного уравнения перенесем все слагаемые, кроме x, в правую часть уравнения:
x = 4 - ay.
3. Применим второе уравнение:
x^2 + y^2 = 9.
Подставим выражение для x из предыдущего шага:
(4 - ay)^2 + y^2 = 9.
Раскроем и упростим:
16 - 8ay + a^2y^2 + y^2 = 9.
Перенесем слагаемые, содержащие переменные y, в одну сторону уравнения:
a^2y^2 + y^2 - 8ay + 16 - 9 = 0.
a^2y^2 + y^2 - 8ay + 7 = 0 (1).
4. Это квадратное уравнение относительно неизвестной y. Для нахождения его решений можно воспользоваться дискриминантом.
Дискриминант D квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.
В нашем случае, где a = a^2 + 1, b = -8a и c = 7, формула для дискриминанта примет вид:
D = (-8a)^2 - 4(a^2 + 1)(7).
Раскроем скобки и упростим:
D = 64a^2 - 28(a^2 + 1).
D = 64a^2 - 28a^2 - 28.
D = 36a^2 - 28.
5. Чтобы иметь 4 решения, дискриминант должен быть больше нуля, так как корни будут вещественными и различными. Решим неравенство:
36a^2 - 28 > 0.
Перенесем свободный член в другую сторону:
36a^2 > 28.
Разделим обе части на положительное число 36:
a^2 > 28/36.
a^2 > 7/9.
6. Чтобы найти значения a, при которых выполняется неравенство, возьмем квадратный корень из обеих частей:
a > sqrt(7/9) (2).
7. Получили, что a должно быть больше значения sqrt(7/9). Визуализируем это на координатной плоскости:
- Основное уравнение x^2 + y^2 = 9 задает окружность радиусом 3 и центром в начале координат (0, 0).
- Вертикальная прямая x = 4 - ay является сдвигом прямой x = 4 вдоль оси y. При этом координаты точек смещаются в соответствии с параметром a.
На рисунке приведены случаи, когда:
- а < sqrt(7/9), где прямая x = 4 - ay не пересекает окружность. В этом случае уравнение имеет меньше 4 решений.
- а = sqrt(7/9), где прямая x = 4 - ay касается окружности в одной точке. В этом случае уравнение имеет ровно 4 решения.
- а > sqrt(7/9), где прямая x = 4 - ay пересекает окружность в двух точках. В этом случае уравнение имеет больше 4 решений.
(Вставьте рисунок с множеством a, окружностью и прямой x = 4 - ay)
Таким образом, значение a должно быть больше или равно sqrt(7/9), чтобы уравнение имело 4 решения.
Вывод:
Все значения a, большие или равные sqrt(7/9), удовлетворяют условиям задачи, и при таких значениях a уравнение имеет 4 решения.
С первого уравнения
y=(4-x)/a и y=(4a-x)/a
Подсталвяя первую и вторую “y” во второе, откуда
{x^2+(4-a)^2/a^2=9
{x^2+(4a-x)^2/a^2=9
Два квадратных уравнения, должны иметь решения.
{x^2(a^2+1)-8x+16-9a^2=0
{x^2(a^2+1)-8ax+7a^2=0
{D1=64-4*(a^2+1)*(16-9a^2)>0
{D2=64a^2-4(a^2+1)*7a^2>0
Условие D>0 ( два корня )
{9a^4>7a^2
{9a^2>7a^4
{9a^2-7>0
{9-7a^2>0
При a=1 прямые совпадают, значит a не равна 1
Откуда
a E ( -3/sqrt(7), -7/sqrt(3)) U (7/sqrt(3), 1) U (1, 3/sqrt(7))
1. Разложим на множители первое уравнение:
(x+ay-4)(x+ay-4a) = 0.
У нас есть произведение двух скобок, и оно равно нулю. Таким образом, мы можем получить нулевое значение только в двух случаях:
- один из множителей равен нулю,
- оба множителя равны нулю.
Исследуем первый случай:
2. Множитель (x+ay-4) равен нулю:
x + ay - 4 = 0.
Для нахождения решения данного уравнения перенесем все слагаемые, кроме x, в правую часть уравнения:
x = 4 - ay.
3. Применим второе уравнение:
x^2 + y^2 = 9.
Подставим выражение для x из предыдущего шага:
(4 - ay)^2 + y^2 = 9.
Раскроем и упростим:
16 - 8ay + a^2y^2 + y^2 = 9.
Перенесем слагаемые, содержащие переменные y, в одну сторону уравнения:
a^2y^2 + y^2 - 8ay + 16 - 9 = 0.
a^2y^2 + y^2 - 8ay + 7 = 0 (1).
4. Это квадратное уравнение относительно неизвестной y. Для нахождения его решений можно воспользоваться дискриминантом.
Дискриминант D квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.
В нашем случае, где a = a^2 + 1, b = -8a и c = 7, формула для дискриминанта примет вид:
D = (-8a)^2 - 4(a^2 + 1)(7).
Раскроем скобки и упростим:
D = 64a^2 - 28(a^2 + 1).
D = 64a^2 - 28a^2 - 28.
D = 36a^2 - 28.
5. Чтобы иметь 4 решения, дискриминант должен быть больше нуля, так как корни будут вещественными и различными. Решим неравенство:
36a^2 - 28 > 0.
Перенесем свободный член в другую сторону:
36a^2 > 28.
Разделим обе части на положительное число 36:
a^2 > 28/36.
a^2 > 7/9.
6. Чтобы найти значения a, при которых выполняется неравенство, возьмем квадратный корень из обеих частей:
a > sqrt(7/9) (2).
7. Получили, что a должно быть больше значения sqrt(7/9). Визуализируем это на координатной плоскости:
- Основное уравнение x^2 + y^2 = 9 задает окружность радиусом 3 и центром в начале координат (0, 0).
- Вертикальная прямая x = 4 - ay является сдвигом прямой x = 4 вдоль оси y. При этом координаты точек смещаются в соответствии с параметром a.
На рисунке приведены случаи, когда:
- а < sqrt(7/9), где прямая x = 4 - ay не пересекает окружность. В этом случае уравнение имеет меньше 4 решений.
- а = sqrt(7/9), где прямая x = 4 - ay касается окружности в одной точке. В этом случае уравнение имеет ровно 4 решения.
- а > sqrt(7/9), где прямая x = 4 - ay пересекает окружность в двух точках. В этом случае уравнение имеет больше 4 решений.
(Вставьте рисунок с множеством a, окружностью и прямой x = 4 - ay)
Таким образом, значение a должно быть больше или равно sqrt(7/9), чтобы уравнение имело 4 решения.
Вывод:
Все значения a, большие или равные sqrt(7/9), удовлетворяют условиям задачи, и при таких значениях a уравнение имеет 4 решения.