2.7. Пусть f(x) = x - 4x + 3. Задайте аналитически функцию: y - f(-x), y f(x + 2), y = f(1 - x). Для каждой функции найдите: 1) множество значений; 2) точку пересечения с осью ординат; 3) нули.
A см - длина прямоугольника, b см - ширина Прямоугольник можно разрезать на две равные части, из которых можно составить квадрат => тогда площадь квадрата будет 2a * b/2 (или же 4a^2 или же (b^2/4) = 144 см^2 Составим систему a*b=144 4a^2=144 Выразим a из 1 уравнения => a = 144/b Подставим во 2 уравнение: 4(144/b)^2 = 144 4 * 20736 / b^2 = 144 b^2 = 4 * 20736 / 144 b^2 = 576 b1 = √576 = 24 b2 = -√576 = -24 => отрицательная ширина не подходит, значит
2) 59! можно разложить на простые 59!= 2^47 * 3^27 * 5^13 * 7^9 * 11^5 * 13^4 * 17^3 * 19^3 * 23^2 * 29^2 * 31 * 37 * 41 * 53 * 59 наименьшее кратный делитель будет следующее простое число, то есть N=61.
5) P(x)=x^2-1001x+1 P(P(x))=0 P(P(x))=(x^2-1001x+1)^2-1001(x^2-1001x+1)+1 P(P(x))=f(x) f ' (x) = 2(x^2-1001x+1)*(2x-1001) - 1001*(2x-1001) = 0 f ' (x) = 0 (2x-1001)(2x^2-2002x-999)=0 x=1001/2 x=(1001+/-√1003999)/2 Откуда получаем что функция возрастает на интервале ( (1001-√1003999)/2 , 1001/2) U ( (1001+√1003999)/2 , +oo) убывает на интервале ( -oo, (1001-√1003999)/2 ) U ( 1001/2 , (1001+√1003999)/2 )
Производная в точке x0=(1001-√1003999)/2) слева на право от нее меняется знак с (-) на (+), в точке x0=(1001+√1003999)/2 слева на право меняется знак с (-) на (+), значит в этих двух точках функция имеет минимум, который при подстановке в функцию, примет значение f(x0)<0.
Так как данное уравнение, уравнение четвертой степени, то максимальное количество корней она имеет 4 , из исследования монотонности функции , получаем что f(x) имеет ровна 4 различных вещественных корня.
По теореме Виета для четвертой степени , сумма всех корней равна отношению коэффициентов перед x^3 и x^4 Значит надо рассмотреть только одну скобку (x^2-1001x+1)^2 = x^4-2002x^3+Q(x) x1,x2,x3,x4 корни уравнения f(x) Откуда x1+x2+x3+x4=-(-2002/1)=2002.
Прямоугольник можно разрезать на две равные части, из которых можно составить квадрат => тогда площадь квадрата будет 2a * b/2 (или же 4a^2 или же (b^2/4) = 144 см^2
Составим систему
a*b=144
4a^2=144
Выразим a из 1 уравнения => a = 144/b
Подставим во 2 уравнение:
4(144/b)^2 = 144
4 * 20736 / b^2 = 144
b^2 = 4 * 20736 / 144
b^2 = 576
b1 = √576 = 24
b2 = -√576 = -24 => отрицательная ширина не подходит, значит
b = 24 см
Тогда a = 144 / b = 144 / 24 = 6 см
ответ: 6 см, 24 см
5) P(x)=x^2-1001x+1
P(P(x))=0
P(P(x))=(x^2-1001x+1)^2-1001(x^2-1001x+1)+1
P(P(x))=f(x)
f ' (x) = 2(x^2-1001x+1)*(2x-1001) - 1001*(2x-1001) = 0
f ' (x) = 0
(2x-1001)(2x^2-2002x-999)=0
x=1001/2
x=(1001+/-√1003999)/2
Откуда получаем что функция
возрастает на интервале
( (1001-√1003999)/2 , 1001/2) U ( (1001+√1003999)/2 , +oo)
убывает на интервале
( -oo, (1001-√1003999)/2 ) U ( 1001/2 , (1001+√1003999)/2 )
Производная в точке x0=(1001-√1003999)/2) слева на право от нее меняется знак с (-) на (+), в точке x0=(1001+√1003999)/2 слева на право меняется знак с (-) на (+),
значит в этих двух точках функция имеет минимум, который при подстановке в функцию, примет значение f(x0)<0.
Так как данное уравнение, уравнение четвертой степени, то максимальное количество корней она имеет 4 , из исследования монотонности функции , получаем что f(x) имеет ровна 4 различных вещественных корня.
По теореме Виета для четвертой степени , сумма всех корней равна отношению коэффициентов перед x^3 и x^4
Значит надо рассмотреть только одну скобку
(x^2-1001x+1)^2 = x^4-2002x^3+Q(x)
x1,x2,x3,x4 корни уравнения f(x)
Откуда x1+x2+x3+x4=-(-2002/1)=2002.