2. Автоматическая телефонная станция обслуживает 2000 абонентов. Вероятность позвонить любому абоненту в течение часа равна 0,003. Оцените вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентам?

пусть собственная скорость катера равна х, значит, по озеру катер шел со скоростью х км/ч. А по течению реки катер шел со скоростью (х + 3) км/ч.

Выразим время движения катера по течению реки: t = S/v; 5/(х + 3).

Выразим время движения катера по озеру: 8/х.

Так на все он потратил 1 час, составляем уравнение:

5/(х + 3) + 8/х = 1;

(5х + 8х + 24)/х(х + 3) = 1;

(13х + 24)/(х² + 3х) = 1.

По правилу пропорции: х² + 3х = 13х + 24;

х² + 3х - 13х - 24 = 0;

х² - 10х - 24 = 0.

D = 100 + 96 = 196 (√D = 14);

х1 = (10 - 14)/2 = -2 (не подходит).

х2 = (10 + 14)/2 = 12 (км/ч) - собственная скорость катера.

Тогда скорость по течению будет равна х + 3 = 12 + 3 = 15 (км/ч).

ответ: скорость катера по течению равна 15 км/ч.

Как уже было показано в комментарии, при n=1 это утверждение верно. Пусть теперь n=k: положим, что (3^4k-1)/2=40*m, где m - натуральное число. Переходя к n=k+1, получим выражение (3^(4k+4)-1)/2=(81*3^4k-1)/2=(3^4k+80*3^4k-1)/2=(3^4k-1)/2+80*3^4k/2=40*m+40*3^4k=40*(m+3^4k). Так как число 3^4k - натуральное,  то таким будет и число m+3^4k. Обозначив его через n1, получим  (3^(4k+4)-1)/2=40*n1. А это значит, что число  (3^(4k+4)-1)/2 кратно 40. Теперь из верности утверждения при n=1 следует его верность при n=2; из верности при n=2 следует верность при n=3 и.т.д. для всех натуральных чисел. Утверждение доказано.