Для выяснения сходимости ряда используем признак Лейбница.
Очевидно, что
1. , так как с увеличением номера n увеличивается знаменатель, а с ростом знаменателя дробь становится все меньше и меньше;
2.
Надеюсь, данный факт ясен.
Два условия выполнены, следовательно, ряд по признаку Лейбница сходится.
Выясним вопрос относительно абсолютной сходимости. Для этого нужно рассмотреть соответствующий ряд из модулей исходного ряда.
Напомню, что модуль "съедает" множитель вида . Значит, общий член нового ряда имеет вид .
Для установления сходимости данного ряда используем интегральный признак Коши. Это можно сделать, поскольку действительнозначная функция
неотрицательна, непрерывна и убывает на интервале
Можно рассмотреть несобственный интеграл. Исследуем его на сходимость. подробности в приложенном файле.
Итак, получена бесконечность, стало быть, несобственный интеграл расходится.
Ряд сходится либо расходится вместе с несобственным интегралом. То есть, расходится.
Таким образом, сам ряд сходится. Но ряд из модулей расходится, что исключает абсолютную сходимость ряда. А сходящийся ряд, не сходящийся абсолютно, сходится условно.
условно сходится
Объяснение:
Для выяснения сходимости ряда используем признак Лейбница.
Очевидно, что
1.
, так как с увеличением номера n увеличивается знаменатель, а с ростом знаменателя дробь становится все меньше и меньше;
2.
Надеюсь, данный факт ясен.
Два условия выполнены, следовательно, ряд по признаку Лейбница сходится.
Выясним вопрос относительно абсолютной сходимости. Для этого нужно рассмотреть соответствующий ряд из модулей исходного ряда.
Напомню, что модуль "съедает" множитель вида
. Значит, общий член нового ряда имеет вид 
.
Для установления сходимости данного ряда используем интегральный признак Коши. Это можно сделать, поскольку действительнозначная функция
неотрицательна, непрерывна и убывает на интервале
Можно рассмотреть несобственный интеграл. Исследуем его на сходимость. подробности в приложенном файле.
Итак, получена бесконечность, стало быть, несобственный интеграл расходится.
Ряд сходится либо расходится вместе с несобственным интегралом. То есть, расходится.
Таким образом, сам ряд сходится. Но ряд из модулей расходится, что исключает абсолютную сходимость ряда. А сходящийся ряд, не сходящийся абсолютно, сходится условно.
2х-5у=2
1) (3; 1) => x=3; y=1
Подставим x=3; y=1 в данное уравнение:
2·3 - 5·1 = 2
6 - 5 = 2
1 ≠ 2 не является равенством, значит,
пара чисел (3; 1) не является решением данного уравнения.
2) (-9; -4) => x= -9; y= -4
Подставим x= -9; y= -4 в данное уравнение:
2·(-9) - 5·(-4) = 2
-18 + 20 = 2
2 = 2 верное равенство, значит,
пара чисел (-9; -4) является решением данного уравнения.
3) (5; 2) => x=5; y=2
2·5 - 5·2 = 2
10 - 10 = 2
0 ≠ 2 не является равенством, значит,
пара чисел (5; 2) не является решением данного уравнения.
4) (1; 0) => x= 1; y= 0
2·1 - 5·0 = 2
2 - 0 = 2
2 = 2 верное равенство, значит,
пара чисел (1; 0) является решением данного уравнения.
5) (6; 2) => x= 6; y= 2
2·6 - 5·2 = 2
12 - 10 = 2
2 = 2 верное равенство, значит,
пара чисел (6; 2) является решением данного уравнения.
ответ: пары чисел (-9; -4);
(1; 0);
(6; 2)
являются решениями данного уравнения.