2 Упражнения Найдите общий вид первообразных для функции 342. a) f (x) = 2-х + 1/х^3 б) f (x) = x -2/х^5+ cos x; в) f (x) = 1/х^2- sin x; г) f (x) = 5х2-1.
a) Для нахождения общего вида первообразной функции f(x) = 2x - 1/x^3, мы будем использовать правило интегрирования для каждого слагаемого:
По правилу интегрирования для степенной функции x^n, где n ≠ -1, первообразной функции f(x) = x^n будет являться F(x) = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.
Используя это правило для первого слагаемого 2x, получаем:
∫(2x) dx = (2 * x^(1+1))/(1+1) + C = x^2 + C1,
где C1 - постоянная.
Для второго слагаемого -1/x^3, мы можем использовать правило интегрирования для степенной функции с отрицательным показателем:
По правилу интегрирования для степенной функции x^n, где n ≠ -1, первообразной функции f(x) = x^n будет являться F(x) = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.
Используя это правило для первого слагаемого 2x, получаем:
∫(2x) dx = (2 * x^(1+1))/(1+1) + C = x^2 + C1,
где C1 - постоянная.
Для второго слагаемого -1/x^3, мы можем использовать правило интегрирования для степенной функции с отрицательным показателем:
∫(-1/x^3) dx = -∫(1/x^3) dx = -(-2/x^2)/2 + C2 = 1/(2x^2) + C2,
где C2 - постоянная.
Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = 2x - 1/x^3 будет:
F(x) = x^2 + 1/(2x^2) + C,
где C - общая постоянная.
б) Для нахождения общего вида первообразной функции f(x) = x - 2/x^5 + cos(x), мы будем использовать аналогичные правила интегрирования:
∫(x) dx = x^2/2 + C1,
где C1 - постоянная.
∫(-2/x^5) dx = -2 * ∫(1/x^5) dx = -2 * (-1/4x^4)/4 + C2 = 1/(8x^4) + C2,
где C2 - постоянная.
∫(cos(x)) dx = sin(x) + C3,
где C3 - постоянная.
Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = x - 2/x^5 + cos(x) будет:
F(x) = x^2/2 + 1/(8x^4) + sin(x) + C,
где C - общая постоянная.
в) Для нахождения общего вида первообразной функции f(x) = 1/x^2 - sin(x), мы будем использовать аналогичные правила интегрирования:
∫(1/x^2) dx = -1/x + C1,
где C1 - постоянная.
∫(-sin(x)) dx = cos(x) + C2,
где C2 - постоянная.
Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = 1/x^2 - sin(x) будет:
F(x) = -1/x + cos(x) + C,
где C - общая постоянная.
г) Для нахождения общего вида первообразной функции f(x) = 5x^2 - 1, мы будем использовать правило интегрирования для степенной функции:
∫(5x^2) dx = (5 * x^(2+1))/(2+1) + C = (5/3) * x^3 + C1,
где C1 - постоянная.
∫(-1) dx = -x + C2,
где C2 - постоянная.
Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = 5x^2 - 1 будет:
F(x) = (5/3) * x^3 - x + C,
где C - общая постоянная.