Для решения задачи мы будем использовать формулу произведения синусов и формулу произведения косинусов.
1. Запишем формулу произведения синусов:
sin(a)sin(b) = 1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]
2. Подставим значения a = 13π/36 и b = π/9 в формулу:
4sin(13π/36)sin(π/9) = 1/2[cos(13π/36-π/9)-cos(13π/36+π/9)]
3. Упростим выражение внутри скобок:
13π/36-π/9 = (13π-4π)/36 = 9π/36 = π/4
13π/36+π/9 = (13π+4π)/36 = 17π/36
4. Подставим упрощенные значения в формулу:
4sin(13π/36)sin(π/9) = 1/2[cos(π/4)-cos(17π/36)]
5. Рассчитаем значения косинусов:
cos(π/4) = √2/2
cos(17π/36) - Здесь нам потребуется тригонометрическая формула половинного угла, которая имеет вид:
cos(x/2) = ±√[(1+cos(x))/2]
cos(θ) = cos(pi/36), где θ = 17π/36
cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2]
6. Подставим значения косинусов в исходное уравнение:
4sin(13π/36)sin(π/9) = 1/2[√2/2-√[(1+ cos(19π/36))/2]]
= 1/2[(√2-√[(1+ cos(pi/18))/2])]
Таким образом, мы получили выражение в виде суммы произведения синусов:
4 sin(13π/36) sin(π/9) = 1/2[(√2-√[(1+ cos(pi/18))/2])]
Теперь перейдем к решению второго вопроса.
1. Запишем формулу произведения косинусов:
cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]
2. Подставим значения a = π/18 и b = 5π/18 в формулу:
2cos(π/18)cos(5π/18) = 1/2[cos(π/18-5π/18)+cos(π/18+5π/18)]
3. Упростим выражение внутри скобок:
π/18-5π/18 = (-4π)/18 = -2π/9
π/18+5π/18 = (6π)/18 = π/3
4. Подставим упрощенные значения в формулу:
2cos(π/18)cos(5π/18) = 1/2[cos(-2π/9)+cos(π/3)]
5. Рассчитаем значения косинусов:
cos(-2π/9) - Здесь нам потребуется тригонометрическая формула обратного знака:
cos(-x) = cos(x)
cos(-2π/9) = cos(2π/9)
cos(π/3) = 1/2
Итак, мы получили:
2cos(π/18)cos(5π/18) = 1/2[cos(2π/9)+1/2]
Таким образом, мы получили выражение в виде суммы произведения косинусов:
2 cos(π/18)∙cos(5π/18) = 1/2[cos(2π/9)+1/2]
Надеюсь, что данное решение поможет вам понять задачу и получить исчерпывающий ответ. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.
1. Запишем формулу произведения синусов:
sin(a)sin(b) = 1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]
2. Подставим значения a = 13π/36 и b = π/9 в формулу:
4sin(13π/36)sin(π/9) = 1/2[cos(13π/36-π/9)-cos(13π/36+π/9)]
3. Упростим выражение внутри скобок:
13π/36-π/9 = (13π-4π)/36 = 9π/36 = π/4
13π/36+π/9 = (13π+4π)/36 = 17π/36
4. Подставим упрощенные значения в формулу:
4sin(13π/36)sin(π/9) = 1/2[cos(π/4)-cos(17π/36)]
5. Рассчитаем значения косинусов:
cos(π/4) = √2/2
cos(17π/36) - Здесь нам потребуется тригонометрическая формула половинного угла, которая имеет вид:
cos(x/2) = ±√[(1+cos(x))/2]
cos(θ) = cos(pi/36), где θ = 17π/36
cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2]
cos(pi/36) = ±√[(1+cos(17π/36))/2] = ±√[(1+cos(2π - 19π/36))/2] = ±√[(1+cos(19π/36))/2]
cos(19π/36) - Снова используем формулу половинного угла:
cos(θ1) = cos(pi/18), где θ1 = 19π/36
cos(θ1/2) = ±√[(1+cos(θ1))/2]
cos(pi/18) = ±√[(1+cos(19π/36))/2]
Итак, мы получили:
cos(π/4) = √2/2
cos(19π/36) = ±√[(1+ cos(19π/36))/2] = ±√[(1+ cos(θ))/2]
cos(pi/18) = ±√[(1+ cos(19π/36))/2]
6. Подставим значения косинусов в исходное уравнение:
4sin(13π/36)sin(π/9) = 1/2[√2/2-√[(1+ cos(19π/36))/2]]
= 1/2[(√2-√[(1+ cos(pi/18))/2])]
Таким образом, мы получили выражение в виде суммы произведения синусов:
4 sin(13π/36) sin(π/9) = 1/2[(√2-√[(1+ cos(pi/18))/2])]
Теперь перейдем к решению второго вопроса.
1. Запишем формулу произведения косинусов:
cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]
2. Подставим значения a = π/18 и b = 5π/18 в формулу:
2cos(π/18)cos(5π/18) = 1/2[cos(π/18-5π/18)+cos(π/18+5π/18)]
3. Упростим выражение внутри скобок:
π/18-5π/18 = (-4π)/18 = -2π/9
π/18+5π/18 = (6π)/18 = π/3
4. Подставим упрощенные значения в формулу:
2cos(π/18)cos(5π/18) = 1/2[cos(-2π/9)+cos(π/3)]
5. Рассчитаем значения косинусов:
cos(-2π/9) - Здесь нам потребуется тригонометрическая формула обратного знака:
cos(-x) = cos(x)
cos(-2π/9) = cos(2π/9)
cos(π/3) = 1/2
Итак, мы получили:
2cos(π/18)cos(5π/18) = 1/2[cos(2π/9)+1/2]
Таким образом, мы получили выражение в виде суммы произведения косинусов:
2 cos(π/18)∙cos(5π/18) = 1/2[cos(2π/9)+1/2]
Надеюсь, что данное решение поможет вам понять задачу и получить исчерпывающий ответ. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.