20 ів, 8-9 клас, можна укр. або рос.
1. при якому значенні p рівняння 2x^2 - (p-2)*x + 7 = p^2 обернені за величиною і протилежні за знаком?
2. при яких значеннях m сума квадратів коренів рівняння ax^2 - mx + m - 1 = ) менша за 1, а їх добуток більший за a?
3. довести, що корені рівняння x^2 - (k + n)*x + (k*n - p^2) = 0 дійсні(k, n i p - дійсні числа). знайти умову, при якій корені цього рівняння будуть рівні між собою.
Это довольно трудная задача если решать в лоб, но можно увидеть необычное использование теоремы Пифагора.
Если изобразить это уравнение, то это просто окружность с центром в точке (0,0) радиуса 3.
А пото внимательно смотрим на косинусы и получаем что по теореме Чевы можно их сложить, а значит получаем:
(переписываете исходное уравнение)
Снизу пишите по теореме Чевы - решения есть при любых а
Осталось эти решения найти. И тут то и применяем всю красоту математики. Пишем:
По т. Соса x=cos(x-2a)*S, S найдем по теореме Ницкого: S=14-12+2=4
x=4*a
Красиво? Мне кажется очень.
Перед тем как мы найдем эти точки, приведем уравнения к общему виду:
А теперь сравняем:
Переносим всё в лево:
Теперь найдем дискриминант, если решение есть, позже найдем корни:
Дискриминант положителен поэтому существуют 2 корня:
Теперь вставляем значение икса в любое из уравнений, легче будет поставить значение в уравнение y=4-x:
При x=(-4):
При x=3:
Осталось записать координаты:
(-4,8)
(3,1)
Это и есть координаты пересечения графиков.