[+25 б] Найти преобразованную F(x) для функции

Найдем первообразную для функции f(x)=2+sin4x

F(x)=2x-(cos4x)/4+c

подставим координаты указанной точки

2*π/4-(cosπ)/4+c=-3π

c=-3π-1/4-π/2;  c=-3.5π-0.25

F(x)=2x-(cos4x)/4-0.25- уравнение первообразной, проходящей через точку (π/4; -3π).

F(7π/4)=2*7π/4-(cos7π)/4-3.5π-0.25=7π/2-(cosπ)/4-3.5π-0.25=

7π/2+1/4-0.25-3.5π=0

Найдите  первообразную  F(x)   для  функции   f(x)  = 2 + sin4x ,

если F(π/4) = -3π . В ответе укажите F(7π/4) .

F(x) = ∫f(x)dx =∫( 2 + sin4x)dx =∫2dx + ∫sin4xdx =∫2dx +(1/4)∫sin4xd(4x) =

= 2x - cos(4x) / 4  + C .

F(x) = 2x - 0,25cos(4x)  + C  ( семейство первообразных )                      Определим  постоянной С используя условие : F(π/4) = - 3π  

F(π/4) =2*π/4 - 0,25cos(4*π/4) +C=0,5π +0,25cos(π)  + C  

 - 3π  = 0,5π  + 0,25 +  C   ⇒  C = - 3,5π - 0,25

F(x)     =   2x  - 0,25cos(4x)  - 3,5π - 0,25 .

F(7π/4)  =  2*(7π/4) - 0,25cos(4*(7π/4)) - 3,5π - 0,25  =  

               = 3,5π - 0,25cos(7π) -  3,5π  - 0,25 = 0  

ответ:  0

* * *  P.S.   F(7π/4) можно  получить другим

F(7π/4) - F(π/4) = 2*(7π/4) - 0,25cos(4*(7π/4)) - 2*π/4 + 0,25cos(4*(π/4)) = 3,5π - 0,25cos(7π) - 0,5π + 0,25cos(π)  =3π

F(7π/4) = F(π/4) + 3π = - 3π + 3π  = 0