объяснение: напомним основные свойства степени. пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. тогда
1) an am = an+m
2)
a
n
a
m
=
a
n
−
m
3) (an)m = anm
4) (ab)n = an bn
5)
(
a
b
)
n
=
a
n
b
n
6) an > 0
7) an > 1, если a > 1, n > 0
8) an < am, если a > 1, n < m
9) an > am, если 0< a < 1, n < m
в практике часто используются функции вида y = ax, где a - заданное положительное число, x - переменная. такие функции называют показательными. это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.
определение. показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0,
a
≠
1
показательная функция обладает следующими свойствами
1) область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0,
a
≠
1
, не имеет корней, если
b
≤
0
, и имеет корень при любом b > 0.
3) показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.
это следует из свойств степени (8) и (9)
построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 < a < 1.
использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси oх.
если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро приближается к оси oх (но не пересекает её). таким образом, ось ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = ax при a > 0.
если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
график функции у = ax при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси ох.
если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси ох (не пересекая её). таким образом, ось ох является горизонтальной асимптотой графика.
если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
показательные уравнения
рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0,
a
≠
1
, х — неизвестное. это уравнение решается с свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0,
a
≠
1
равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
решить уравнение 23x • 3x = 576
так как 23x = (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2.
ответ х = 2
решить уравнение 3х + 1 - 2 • 3x - 2 = 25
вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2(33 - 2) = 25, 3х - 2 • 25 = 25,
откуда 3х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
ответ х = 2
решить уравнение 3х = 7х
так как
7
x
≠
0
, то уравнение можно записать в виде
3
x
7
x
=
1
, откуда
(
3
7
)
x
=
1
, х = 0
ответ х = 0
решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0
заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.
уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
ответ: х = -1
объяснение: напомним основные свойства степени. пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. тогда
1) an am = an+m
2)
a
n
a
m
=
a
n
−
m
3) (an)m = anm
4) (ab)n = an bn
5)
(
a
b
)
n
=
a
n
b
n
6) an > 0
7) an > 1, если a > 1, n > 0
8) an < am, если a > 1, n < m
9) an > am, если 0< a < 1, n < m
в практике часто используются функции вида y = ax, где a - заданное положительное число, x - переменная. такие функции называют показательными. это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.
определение. показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0,
a
≠
1
показательная функция обладает следующими свойствами
1) область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0,
a
≠
1
, не имеет корней, если
b
≤
0
, и имеет корень при любом b > 0.
3) показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.
это следует из свойств степени (8) и (9)
построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 < a < 1.
использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси oх.
если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро приближается к оси oх (но не пересекает её). таким образом, ось ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = ax при a > 0.
если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
график функции у = ax при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси ох.
если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси ох (не пересекая её). таким образом, ось ох является горизонтальной асимптотой графика.
если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
показательные уравнения
рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0,
a
≠
1
, х — неизвестное. это уравнение решается с свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0,
a
≠
1
равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
решить уравнение 23x • 3x = 576
так как 23x = (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2.
ответ х = 2
решить уравнение 3х + 1 - 2 • 3x - 2 = 25
вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2(33 - 2) = 25, 3х - 2 • 25 = 25,
откуда 3х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
ответ х = 2
решить уравнение 3х = 7х
так как
7
x
≠
0
, то уравнение можно записать в виде
3
x
7
x
=
1
, откуда
(
3
7
)
x
=
1
, х = 0
ответ х = 0
решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0
заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.
уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
ответ х = 2
решить уравнение 3 • 2х + 1 + 2 • 5x - 2 = 5х + 2х - 2
запишем уравнение в виде
3 • 2х + 1 - 2x - 2 = 5х - 2 • 5х - 2, откуда
2х - 2 (3 • 23 - 1) = 5х - 2( 5 2 - 2 )
2х - 2 • 23 = 5х - 2• 23
(
2
5
)
x
−
2
=
1
x - 2 = 0
ответ х = 2
решить уравнение 3|х - 1| = 3|х + 3|
так как 3 > 0,
3
≠
1
, то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1)2 = (х + 3)2, откуда
х2 - 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.