30. Логарифмы. Основные свойства логарифмов Вариант 1
1
1. Вычислите: а) log; 16; б) logo,5 4; в) log.
; г) log: 3.
64
2. Найдите значение выражения: а) logis (logs27); б) logs (logs /81).
3. Решите уравнения: а) log7 x=2; б) log 64 = 6.
lg81 + lg64
4. Вычислите: а) logs 12 — logs 15 + logs 20; б)
2lg3+3lg2
3
lg5
в) lg 5 +lg 2; г)
lg 25
5. Найдите значение хесли: а) logs x = 2 logs 3 +4 log25 2;
1
1
б) lgx= 3lg2+ — lg64--
2 3
+ - g64-8.

В) (x-8)(x²-7x-8)=x³-8x²

заменим что x³-8x²=х²(x-8) поэтому
(x-8)(x²-7x-8)=х²(x-8)
одно решение x=8
сокращаем на  (x-8), остается
x²-7x-8=х²
-7x-8=0
x=-8/7=
ответ: х₁=8 и

г) (2х + 7)(х² + 12х - 30) - 5х² = 2х²(х + 1)
раскрываем скобки
(2х + 7)(х² + 12х - 30) - 5х²=2x³+24x²-60x+7x²+84x-210-5x²=2x³+26x²+24x-210
аналогично 2х²(х + 1)=2x³+2x²
получаем
2x³+26x²+24x-210=2x³+2x²
2x³+26x²+24x-210-2x³-2x²=0
24x²+24x-210=0
4x²+4x-35=0
D=4²+4*4*35=4²(1+35)=4²6²
√D=4*6=24
x₁=(-4-24)/8=-28/8=-7/2=-3,5
x₂=(-4+24)/8=20/8=5/2=2,5
ответ: x₁=-3,5 и x₂=2,5

Логарифм единицы.loga1=0         Логарифм единицы равен нулю ( а>0, a≠1).Примеры. Вычислить:1) log71=0,                                2) lg1=0,                                     3) ln1=0,так как  70=1.                            так как 100=1.                             так как е0=1.4) 52log51=52∙0=50=1.            5) 43lg1=43∙0=40=1.          6) 85ln1=85∙0=80=1. e3+5lg1=e3+5∙0=e3. 106ln1-2=106∙0-2=10-2=0,01. 35lg1+4=35∙0+4=34=81.Решить уравнение.1) log2(x+4)=log81;                        2) log3(x-1)+5log181=log12(5∙0,2);log2(x+4)=0;                                         log3(x-1)+5∙0=log121;x+4=20;                                                log3(x-1)=0;x+4=1;                                                  x-1=30;x=1-4;                                                   x-1=1;x=-3.                                                     x=2.3) lg (2x+1) -7log21=ln1;lg (2x+1) -7∙0=0;lg (2x+1)=0;2x+1=100;2x+1=1;2x=0;x=0.11.4.4. Натуральный логарифмЛогарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.ln7=loge7,          ln7 – натуральный логарифм числа 7.Примеры.Вычислить, используя определение логарифма.1) lne².  По определению натуральный логарифм числа e² — это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить число е². Очевидно, что это число 2. lne²=2.2) ln (1/e). По определению натуральный логарифм числа 1/е — это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить 1/е. Очевидно, что это число -1, так как е-1=1/е.ln (1/e)=-1.3) lne3+lne4=3+4=7.4) lne-ln (1/e2)=1- (-2)=1+2=3.Вычислить, применив основное логарифмическое тождество: и формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m .1)    eln24=24.2)    e2ln11=(eln11)2=112=121.3)    e-ln20=(eln20)-1=20-1=1/20=0,05.4)    (e4)ln5=(eln5)4=54=625.Упростить, применив основное логарифмическое тождество: формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m ;формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n и формулу возведения в степень произведения: (a∙b)n=an∙bn.1)    eln4+2=eln4∙e2=4∙e2=4e2.2)    e1+ln3=e1∙eln3=e∙3=3e.3)    (e4+ln5)2=(e4∙eln5)2=(e4∙5)2=e4∙2∙52=e8∙25=25e8.4)    (eln2+3)4=(eln2∙e3)4=(2∙e3)4=24∙e3∙4=16e12.Упростить, применив основное логарифмическое тождество:  формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m ; формулу частного степеней с одинаковыми основаниями:  am:an=am-n  и формулу возведения в степень произведения: (a∙b)n=an∙bn.1)    e2-ln3=e2:eln3=e2:3=e2/3.2)    e1-ln5=e1:eln5=e:5=e/5=0,2e.3)    (e5-ln10)3=(e5:eln10)3=(e5:10)3=(0,1e5)3=0,13∙e5∙3=0,001e15.4)    (e3-ln2)4=(e3:eln2)4=(e3:2)4=(0,5e3)4=(0,5)4∙(e3)4=0,0625e12. 11.4.3. Десятичный логарифмЛогарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log».lg7=log107,        lg7 – десятичный логарифм числа 7.Примеры. Вычислить:lg10; lg100; lg1000; lg0,1; lg0,01; lg0,001.1)    lg10=1,  так как 101=10.2)    lg100=2, так как102=100.3)    lg1000=3, так как 103=1000.4)    lg0,1=-1, так как 10-1=1/10=0,1.5)    lg0,01=-2, так как 10-2=1/102=1/100=0,01.6)    lg0,001=-3, так как 10-3=1/103=1/1000=0,001.Найти значение выражения: 10lg8;  10lg4+10lg3,5;  105lg2;  100lg3;  10lg5+2;  10lg60-1.Используем:основное логарифмическое тождество:(см. предыдущий урок 11.4.2. «Примеры на основное логарифмическое тождество»здесь)формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n,формулу частного степеней с одинаковыми основаниями: am:an=am— n1)    10lg8=82)    10lg4+10lg3,5=4+3,5=7,5.3)    105lg2=(10lg2)5=25=32.4)    100lg3=(102)lg3=(10lg3)2=32=9.5)    10lg5+2=10lg5∙102=5∙100=500.6)    10lg60-1=10lg60:101=60:10=6.Решить уравнение.1)    lgx=10lg30-1.Упростим правую часть равенства как в предыдущих примерах.lgx=10lg30:101;lgx=30:10;lgx=3;x=103;x=1000.2)    lg (x+3)=2.x+3=102;x+3=100;x=100-3;x=97.3)    lg (x+5)=-1.x+5=10-1;x+5=0,1;x=0,1-5;x=-4,9.11.4.2. Примеры на основное логарифмическое тождество Это основное логарифмическое тождество.Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.Примеры.Вычислить:  При решении  используем формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m  и основное логарифмическое тождество.Найти значение выражения:  Используем формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n и основное логарифмическое тождество.Найти значение выражения:Используем формулу частного степеней с одинаковыми основаниями: am:an=am— nи основное логарифмическое тождество.11.4.1. Определение логарифмаЛогарифмом числа b по основанию а (logab)  называют показатель степени, в которую нужно  возвести число а, чтобы получить число b.logab=n, если an=b. Примеры: 1) log28=3, т. к. 23=8;2) log5(1/25)=-2, т. к. 5-2=1/52=1/25;                         3) log71=0, т. к. 70=1. Вычислить:1)    log464+log525.  Используем значения степеней: 43=64, 52=25 и определение логарифма.log464+log525=3+2=5.2)    log2log381.        Используем значения степеней: 34=81, 22=4 и определение логарифма.log2log381=log24=2.3)    log5log9log2512.    Используем значения степеней: 29=512, 50=1 и определение логарифма.log5log9log2512=log5log99=log51=0.Решить уравнение.1)    log7x=2.          По определению логарифма составим равенство: x=72, отсюда х=49.2)    log3(x-5)=2.По определению логарифма:х-5=32;х-5=9;х=9+5;х=14.3)    |log6(x+4)|=2.Освободимся от знака модуля.или  log6(x+4) =2;x+4=62;x+4=36;x=36-4;x=32.