Для того чтобы вычислить данный интеграл, мы можем использовать метод разложения на простые дроби. Чтобы применить этот метод, сначала нужно разложить функцию под интегралом на сумму двух дробей.
1. Начнем с деления числителя на знаменатель:
(3x^2 - 4x - 2) / x^2
Мы видим, что степень числителя (2) больше степени знаменателя (1). Поэтому мы делим числитель на знаменатель, используя долгое деление или синтетическое деление. По окончании деления мы получаем:
3x - 7 + (-11 / x^2)
2. Теперь представим полученное выражение в виде суммы двух дробей. Первое слагаемое будет иметь числитель "A" и знаменатель "x^2", а второе слагаемое будет иметь числитель "B" и знаменатель "x^2".
3x - 7 + (-11 / x^2) = A / x^2 + B / x^2
3. Приведем выражение к общему знаменателю и скомбинируем числители:
3x - 7 - (11 / x^2) = (A + B) / x^2
4. Так как выражение должно быть верным для любого значения "x", значит числители должны быть равны между собой:
3x - 7 = A + B
5. Для нахождения чисел "A" и "B" решим систему уравнений:
A + B = -7
3 = A + B
Решая эту систему уравнений, получим:
A = -5
B = -2
Таким образом, разложение функции на простые дроби будет иметь вид:
1. Начнем с деления числителя на знаменатель:
(3x^2 - 4x - 2) / x^2
Мы видим, что степень числителя (2) больше степени знаменателя (1). Поэтому мы делим числитель на знаменатель, используя долгое деление или синтетическое деление. По окончании деления мы получаем:
3x - 7 + (-11 / x^2)
2. Теперь представим полученное выражение в виде суммы двух дробей. Первое слагаемое будет иметь числитель "A" и знаменатель "x^2", а второе слагаемое будет иметь числитель "B" и знаменатель "x^2".
3x - 7 + (-11 / x^2) = A / x^2 + B / x^2
3. Приведем выражение к общему знаменателю и скомбинируем числители:
3x - 7 - (11 / x^2) = (A + B) / x^2
4. Так как выражение должно быть верным для любого значения "x", значит числители должны быть равны между собой:
3x - 7 = A + B
5. Для нахождения чисел "A" и "B" решим систему уравнений:
A + B = -7
3 = A + B
Решая эту систему уравнений, получим:
A = -5
B = -2
Таким образом, разложение функции на простые дроби будет иметь вид:
(3x^2 - 4x - 2) / x^2 = (-5 / x^2) + (-2 / x^2)
6. Интегрируем каждую дробь по отдельности:
∫((-5 / x^2) + (-2 / x^2)) dx = -∫(5 / x^2) dx -∫(2 / x^2) dx
7. Интеграл ∫(1 / x^2) dx можно вычислить следующим образом:
∫(1 / x^2) dx = -1 / x + C, где C - произвольная постоянная
8. Итак, подставляем полученные значения обратно:
∫(3x^2 - 4x - 2) / x^2 dx = (-5 / x^2) - 2 * (-1 / x) + C
= (-5 / x^2) + (2 / x) + C
Таким образом, ответ на данный вопрос будет:
∫(3x^2 - 4x - 2 / x^2) dx = (-5 / x^2) + (2 / x) + C