Уравнение четвертой степени имеет максимум 4 корня.
Если все они действительные - то согласно правилу знаков Декарта - все они положительные , так как знак коэффициентов меняется 4 раза. ( + - + - + )
Согласно теореме Виетта сумма корней уравнения n - степени равна частному от деления коэффициента при степени n-1 на коэффициент при n - степени с противоположным знаком .
В нашем случае это 26/1 = 26
Определим точки перегиба функции в левой части Уравнения
cos²α = 1 - sin²α
cos²α = 1 - 576/625
cos²α = 49/625, cosα= -7/25 (перед дробью знак минус, т.к. α∈(π;3π/2) , а косинус в этом промежутке отрицательный)
2. sin (3π/2 - 2x) = sinx, (3π/2 ; 5π/2)
Применяем формулы приведения, и получаем:
-cos2x = sinx |:(-1)
cos2x = -sinx
cos²x-sin²x = -sinx
cos²x-sin²x+sinx = 0
1 - sin²x - sin²x + sinx = 0
-2sin²x + sinx + 1 =0
Делаем замену: sinx=a
-2a² + a + 1 = 0
D = 9, √D = 3
a1 = 1, a2 = - 1/2
sinx = 1 sinx = -1/2
x = π/2 + 2πn x = (-1)^n arcsin(-1/2) + πn
x=(-1)^n+1 π/6 + πn
Перебираем корни:
n=0 n=1 n=2
x=π/2 - не подходит x=5π/2 - подходит x=9π/2 - не подходит
x=-π/6 - не подходит x=7π/6 - не подходит x=11π/6 - подходит
n=3
x=13π/2 - не подходит
x=19π/6 - не подходит.
Дальше корни будут больше, и не войдут в промежуток. Значит, только 2 корня
Уравнение четвертой степени имеет максимум 4 корня.
Если все они действительные - то согласно правилу знаков Декарта - все они положительные , так как знак коэффициентов меняется 4 раза. ( + - + - + )
Согласно теореме Виетта сумма корней уравнения n - степени равна частному от деления коэффициента при степени n-1 на коэффициент при n - степени с противоположным знаком .
В нашем случае это 26/1 = 26
Определим точки перегиба функции в левой части Уравнения
f"(x) = (x^4-26x^3+160x^2-100x+7)" = 12x^2 - 156x +320
f"(x) =0
12x^2 - 156x +320 =0
x12 = 13/2 +- √561 / 6
x1 ≅ 2.5
x2≅10.4
- Точки перегиба
Все Корни уравнения положительные .
f(0) >0
f(2,5) >0
посмотрим есть ли на интервале от 0 до 2.5 отрицательные значения функции и соответственно 2 корня
f(0,5) = (0.5)^4-26*(0.5)^3+160*(0.5)^2-100*(0.5)+7 = -6.1875
Есть 2 действительных корня .
Посмотрим значение функции за второй точкой перегиба
f(12)= (12)^4-26*(12)^3+160*(12)^2-100*(12)+7 = -2345
При больших X - значение функции положительно ( так коэффициент при 4 степени положительный )
Значит уравнение имеет 4 действительных корня и их сумма по теореме Виетта равна 26