4.91.Докажите тождество: 1) cos (aльфа) сtg (aльфа) - sin (aльфа) tg (aльфа) / (sin (альфа) + cos (альфа) )² - sin (альфа) cos (альфа) ctg (альфа) = 1 / sin (альфа) - 1 / соs (альфа) ;

2)cos (aльфа) + sin (альфа) - соs²(aльфа) sin (aльфа) - sin²(альфа) - sin² (альфа) соs (альфа) / sin (aльфа) tg (альфа) + соs (альфа) сtg (aльфа) = sin ( альфа) соs (aльфа).​

Анализируем:

53^1 - оканчивается на 3

53^2 - на 9

53^3 - на 7

53^4 - на 1, далее все повторяется.

Разложим степень 2012 на множители

2012 = 4 * 503

503 = 4 * 125 + 3

125 = 4 * 31 + 1

31 = 4 * 7 + 3

7 = 4 + 3

Получаем:

[[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3]^4

Опираемся на анализ выше: 53^4 оканчивается на 1, 53^3 - на 7. Следовательно, произведение 53^4 * 53^3 оканчивается на 7.

7^1 - оканчивается на 7

7^2 - на 9

7^3 - на 3

7^4 - на 1.

(53^4 * 53^3)^4 - оканчивается на 1

((53^4 * 53^3)^4 * 53^3) - оканчивается на 7

((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 - оканчивается на 1

[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53] - оканчивается на 3

[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 - оканчивается на 1

[[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3] - оканчивается на 7

[[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3]^4 - оканчивается на 1

Следовательно, 53^2012 оканчивается на 1

Все просто. Нужно решить систему, состоящую из этих уравнений. Если решение есть, значит прямые пересекаются. Причем в точке, соответсвующей корням системы.

Пишем систему:

12х-7у=2,

4х-5у=6.

Из второго, например, уравнения выражаем х:

4х = 6+5у

х = (6+5у)/4

Подставляем полученный х в первое уравнение:

12*(6+5у)/4 - 7у = 2

3*(6+5у) - 7у = 2

18 + 15у - 7у = 2

8у = -16

у = -2

Подставляем у в выражение для х:

х = (6+5*(-2))/4 = (6-10)/4 = -4/4 = -1

Система имеет решение. Прямые пересекаются. Причем в точке (-1; -2).