А) 2·cos2x-4·cosx-1=0
Тождество: cos2x = 2·cos²x-1
2·(2·cos²x-1)-4·cosx-1=0
4·cos²x-2-4·cosx-1=0
4·cos²x-4·cosx -3=0
Введём обозначение: cosx=t. Так как |cosx|≤1, то |t|≤1.
Получим квадратное уравнение:
4·t²-4·t-3=0
D=(-4)²-4·4·(-3)=16+48=64=8²
t₁=(4+8)/(2·4)=12/8=4/3>1 - не подходит
t₂=(4-8)/(2·4)=(-4)/8= -1/2.
Сделаем обратную замену для t₂= -1/2:
cosx= -1/2, отсюда получаем
ответ: x=2·π/3+2·π·k, x=4·π/3+2·π·k, k∈Z.
Б) Определим все корни, принадлежащие промежутку (-5·π/2; -π)
Из первого набор корней:
-5·π/2 < 2·π/3+2·π·k < -π |:π
-5/2 < 2/3+2·k < -1
-5/2-2/3 < 2·k < -1-2/3
-19/6 < 2·k < -5/3 |:2
-19/12 < k < -5/6
-19/12 < k < -10/12
-19/12 < -12/12 < -10/12
k= -12/12 = -1. Тогда
x=2·π/3+2·π·(-1)=2·π/3-2·π= -4·π/3 ∈ (-5·π/2; -π).
Из второго набор корней:
-5·π/2 < 4·π/3+2·π·k < -π |:π
-5/2 < 4/3+2·k < -1
-5/2-4/3 < 2·k < -1-4/3
-23/6 < 2·k < -7/3 |:2
-23/12 < k < -7/6
-23/12 < k < -14/12 - в промежутке нет целых чисел!
ответ: x = -4·π/3.
А) 2·cos2x-4·cosx-1=0
Тождество: cos2x = 2·cos²x-1
2·(2·cos²x-1)-4·cosx-1=0
4·cos²x-2-4·cosx-1=0
4·cos²x-4·cosx -3=0
Введём обозначение: cosx=t. Так как |cosx|≤1, то |t|≤1.
Получим квадратное уравнение:
4·t²-4·t-3=0
D=(-4)²-4·4·(-3)=16+48=64=8²
t₁=(4+8)/(2·4)=12/8=4/3>1 - не подходит
t₂=(4-8)/(2·4)=(-4)/8= -1/2.
Сделаем обратную замену для t₂= -1/2:
cosx= -1/2, отсюда получаем
ответ: x=2·π/3+2·π·k, x=4·π/3+2·π·k, k∈Z.
Б) Определим все корни, принадлежащие промежутку (-5·π/2; -π)
Из первого набор корней:
-5·π/2 < 2·π/3+2·π·k < -π |:π
-5/2 < 2/3+2·k < -1
-5/2-2/3 < 2·k < -1-2/3
-19/6 < 2·k < -5/3 |:2
-19/12 < k < -5/6
-19/12 < k < -10/12
-19/12 < -12/12 < -10/12
k= -12/12 = -1. Тогда
x=2·π/3+2·π·(-1)=2·π/3-2·π= -4·π/3 ∈ (-5·π/2; -π).
Из второго набор корней:
-5·π/2 < 4·π/3+2·π·k < -π |:π
-5/2 < 4/3+2·k < -1
-5/2-4/3 < 2·k < -1-4/3
-23/6 < 2·k < -7/3 |:2
-23/12 < k < -7/6
-23/12 < k < -14/12 - в промежутке нет целых чисел!
ответ: x = -4·π/3.
21⁷ 21⁷ 21⁷
2) (1/3x -7y)² = 1/9 x² - 14/3 xy + 49y² = 1/9 x² -4 ²/₃ xy +49y²
3) (5x-3)(2x+1)-(2x-3)(5x+4)=-3
10x²-6x+5x-3-(10x²-15x+8x-12)=-3
10x²-x-3-10x²+7x+12=-3
6x=-3-9
6x=-12
x=-2
ответ: -2.
4) 4p - p = 4p - p = 4p - 3p = p
9p+9g 3p+3g 9(p+g) 3(p+g) 9(p+g) 9p+9g
5) (2x-5)(2x+5) - (2x+3)² ≤ 2
4x² -25 -(4x² +12x+9)≤2
4x²-25-4x²-12x-9≤2
-12x≤2+34
-12x≤36
x≥-3
6) x³-27y³=(x-3y)(x²+3xy+9y²)
8) BD=5 см
P(ΔDBC)=30 см
P(ΔDBC)=BD +BC+DC
30=5+(BC+DC)
BC+DC=25
В ΔABC AB=BC и AC=AD+AC=2DC
P(ΔABC)=AB+BC+AC=2BC+2DC=2(BC+DC)=2*25=50 (см)
ответ: 50 см.
9) (-2/5 а⁴ b)³ * (-125 a³ b)= (-8/125 a¹² b³) * (-125 a³ b)= 8 a¹⁵ b⁴
10) y/x=-3
y=-3x
3y² -2xy+x² = 3 (-3x)² - 2x(-3x) +x² = 27x²+6x²+x² = 34x² = -34/11 =-3 ¹/₁₁
x²+xy-y² x² +x(-3x)-(-3x)² x² -3x² -9x² -11x²
11) y=x²
y=100
x²=100
x₁=10 (10; 100)
x₂=-10 (-10; 100)
12) 0,4 *0,8 + 0,4*1,2 = 0,4(0,8+1,2) = 0,4 * 2 = 2*2=4
0,6² - 0,4² (0,6-0,4)(0,6+0,4) 0,2 * 1
13) х - 1-ый угол
у - 2-ой угол
{x+y=180
{x-y=100
x=180-y
180-y-y=100
-2y=100-180
-2y=-80
y=40 - 2- ой угол
х=180-40=140 - 1-ый угол
140/40=3,5
ответ: 3,5
14) х - коэффициент пропорциональности.
4х+5х+9х=180
18х=180
х=10
4*10=40 - 1-ый угол
5*10=50 - 2-ой угол
9*10=90 - 3-ий угол
ответ: 40°; 50° и 90°.