Выразим это выражение в виде (7^n)^2 - (5^n)^2 и применим формулу разности квадратов:
(7^n)^2 - (5^n)^2 = (7^n - 5^n)(7^n + 5^n)
Обратим внимание, что первый множитель 7^n - 5^n делится на 2, так как разность двух нечетных чисел всегда делится на 2. А второй множитель 7^n + 5^n также делится на 2, так как сумма двух нечетных чисел также всегда делится на 2.
Теперь посмотрим на первый множитель 7^n - 5^n. Он делится на 3, так как разность двух чисел, попарно сравнимых по модулю 3 (7 и 5), всегда делится на 3.
Таким образом, мы доказали, что (7^n - 5^n)(7^n + 5^n) делится на 2 и на 3, а значит, делится на их произведение, т.е. на 24.
2. Докажем, что 6^2n - 2^2n делится на 32.
Выразим это выражение в виде (6^n)^2 - (2^n)^2 и применим формулу разности квадратов:
(6^n)^2 - (2^n)^2 = (6^n - 2^n)(6^n + 2^n)
Первый множитель 6^n - 2^n делится на 4, так как разность двух чисел, попарно кратных 2 (6 и 2), всегда делится на 2 в квадрате, т.е. на 4.
Второй множитель 6^n + 2^n также делится на 4, так как сумма двух чисел, попарно кратных 2, всегда делится на 2 в квадрате, т.е. на 4.
Таким образом, мы доказали, что (6^n - 2^n)(6^n + 2^n) делится на 4 и на 8, а значит, делится на их произведение, т.е. на 32.
3. Докажем, что 13^n + 3^n + 2 кратно 10.
Рассмотрим выражение 13^n + 3^n + 2 по модулю 10. Нам надо доказать, что оно равно 0 по модулю 10.
Посмотрим на остатки степеней числа 13 по модулю 10:
13^1 ≡ 3 (mod 10)
13^2 ≡ 9 (mod 10)
13^3 ≡ 7 (mod 10)
13^4 ≡ 1 (mod 10)
13^5 ≡ 3 (mod 10)
...
Мы видим, что остатки степеней числа 13 по модулю 10 повторяются с периодом 4: 3, 9, 7, 1.
Теперь посмотрим на остатки степеней числа 3 по модулю 10:
3^1 ≡ 3 (mod 10)
3^2 ≡ 9 (mod 10)
3^3 ≡ 7 (mod 10)
3^4 ≡ 1 (mod 10)
3^5 ≡ 3 (mod 10)
...
Мы видим, что остатки степеней числа 3 по модулю 10 также повторяются с периодом 4: 3, 9, 7, 1.
Аналогично, остатки степеней числа 2 по модулю 10 повторяются с периодом 4: 2, 4, 8, 6.
Теперь сопоставим остатки степеней чисел 13, 3 и 2 по модулю 10:
13^n ≡ 3^n (mod 10) при n, сравнимых с 1 по модулю 4
13^n ≡ 9^n (mod 10) при n, сравнимых с 2 по модулю 4
13^n ≡ 7^n (mod 10) при n, сравнимых с 3 по модулю 4
13^n ≡ 1^n (mod 10) при n, сравнимых с 0 по модулю 4
3^n ≡ 3^n (mod 10) при любом натуральном n
3^n ≡ 9^n (mod 10) при n, сравнимых с 2 по модулю 4
3^n ≡ 7^n (mod 10) при n, сравнимых с 3 по модулю 4
3^n ≡ 1^n (mod 10) при n, сравнимых с 0 по модулю 4
2^n ≡ 2^n (mod 10) при любом натуральном n
2^n ≡ 4^n (mod 10) при n, сравнимых с 2 по модулю 4
2^n ≡ 8^n (mod 10) при n, сравнимых с 3 по модулю 4
2^n ≡ 6^n (mod 10) при n, сравнимых с 0 по модулю 4
Теперь выразим наше выражение в виде суммы остатков степеней чисел по модулю 10 в соответствии с предыдущими рассуждениями:
1. Докажем, что 49^n - 25^n делится на 24.
Выразим это выражение в виде (7^n)^2 - (5^n)^2 и применим формулу разности квадратов:
(7^n)^2 - (5^n)^2 = (7^n - 5^n)(7^n + 5^n)
Обратим внимание, что первый множитель 7^n - 5^n делится на 2, так как разность двух нечетных чисел всегда делится на 2. А второй множитель 7^n + 5^n также делится на 2, так как сумма двух нечетных чисел также всегда делится на 2.
Теперь посмотрим на первый множитель 7^n - 5^n. Он делится на 3, так как разность двух чисел, попарно сравнимых по модулю 3 (7 и 5), всегда делится на 3.
Таким образом, мы доказали, что (7^n - 5^n)(7^n + 5^n) делится на 2 и на 3, а значит, делится на их произведение, т.е. на 24.
2. Докажем, что 6^2n - 2^2n делится на 32.
Выразим это выражение в виде (6^n)^2 - (2^n)^2 и применим формулу разности квадратов:
(6^n)^2 - (2^n)^2 = (6^n - 2^n)(6^n + 2^n)
Первый множитель 6^n - 2^n делится на 4, так как разность двух чисел, попарно кратных 2 (6 и 2), всегда делится на 2 в квадрате, т.е. на 4.
Второй множитель 6^n + 2^n также делится на 4, так как сумма двух чисел, попарно кратных 2, всегда делится на 2 в квадрате, т.е. на 4.
Таким образом, мы доказали, что (6^n - 2^n)(6^n + 2^n) делится на 4 и на 8, а значит, делится на их произведение, т.е. на 32.
3. Докажем, что 13^n + 3^n + 2 кратно 10.
Рассмотрим выражение 13^n + 3^n + 2 по модулю 10. Нам надо доказать, что оно равно 0 по модулю 10.
Посмотрим на остатки степеней числа 13 по модулю 10:
13^1 ≡ 3 (mod 10)
13^2 ≡ 9 (mod 10)
13^3 ≡ 7 (mod 10)
13^4 ≡ 1 (mod 10)
13^5 ≡ 3 (mod 10)
...
Мы видим, что остатки степеней числа 13 по модулю 10 повторяются с периодом 4: 3, 9, 7, 1.
Теперь посмотрим на остатки степеней числа 3 по модулю 10:
3^1 ≡ 3 (mod 10)
3^2 ≡ 9 (mod 10)
3^3 ≡ 7 (mod 10)
3^4 ≡ 1 (mod 10)
3^5 ≡ 3 (mod 10)
...
Мы видим, что остатки степеней числа 3 по модулю 10 также повторяются с периодом 4: 3, 9, 7, 1.
Аналогично, остатки степеней числа 2 по модулю 10 повторяются с периодом 4: 2, 4, 8, 6.
Теперь сопоставим остатки степеней чисел 13, 3 и 2 по модулю 10:
13^n ≡ 3^n (mod 10) при n, сравнимых с 1 по модулю 4
13^n ≡ 9^n (mod 10) при n, сравнимых с 2 по модулю 4
13^n ≡ 7^n (mod 10) при n, сравнимых с 3 по модулю 4
13^n ≡ 1^n (mod 10) при n, сравнимых с 0 по модулю 4
3^n ≡ 3^n (mod 10) при любом натуральном n
3^n ≡ 9^n (mod 10) при n, сравнимых с 2 по модулю 4
3^n ≡ 7^n (mod 10) при n, сравнимых с 3 по модулю 4
3^n ≡ 1^n (mod 10) при n, сравнимых с 0 по модулю 4
2^n ≡ 2^n (mod 10) при любом натуральном n
2^n ≡ 4^n (mod 10) при n, сравнимых с 2 по модулю 4
2^n ≡ 8^n (mod 10) при n, сравнимых с 3 по модулю 4
2^n ≡ 6^n (mod 10) при n, сравнимых с 0 по модулю 4
Теперь выразим наше выражение в виде суммы остатков степеней чисел по модулю 10 в соответствии с предыдущими рассуждениями:
13^n + 3^n + 2 ≡ 3^n + 3^n + 2^n (mod 10)
≡ 2^(n+1) + 2^n (mod 10)
Теперь посмотрим на случаи n, сравнимых с 0, 1, 2, 3 по модулю 4:
n ≡ 0 (mod 4)
Тогда 2^(n+1) + 2^n ≡ 2^(0+1) + 2^0 ≡ 2^1 + 1 ≡ 2 + 1 ≡ 3 (mod 10)
n ≡ 1 (mod 4)
Тогда 2^(n+1) + 2^n ≡ 2^(1+1) + 2^1 ≡ 2^2 + 2 ≡ 4 + 2 ≡ 6 (mod 10)
n ≡ 2 (mod 4)
Тогда 2^(n+1) + 2^n ≡ 2^(2+1) + 2^2 ≡ 2^3 + 4 ≡ 8 + 4 ≡ 2 (mod 10)
n ≡ 3 (mod 4)
Тогда 2^(n+1) + 2^n ≡ 2^(3+1) + 2^3 ≡ 2^4 + 8 ≡ 6 + 8 ≡ 4 (mod 10)
Мы видим, что в любом случае наше выражение равно 0 по модулю 10, а значит, кратно 10.
Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном n значение выражения 49^n - 25^n / 24, 6^2n - 2^2n / 32 и 13^n + 3^n + 2 кратно 10.