(4а^3 +5) + (4a^3 - 1 )^2 - 2(4a^3 + 5) ( 4a^3 - 1 ) =

(p - 2a) (p + 2a) - (p - a ) (p^2 + pa + a^2 ) =

Обозначим а - среднюю сторону треугольника.

Тогда с учетом разности прогрессии d:    

а - d - меньшая сторона, а + d - большая сторона

По условию:

(a - d) + a + (a + d) = 15          

3a = 15                              

a = 5  (средняя сторона)                                  

По неравенству треугольника: сумма длин двух любых сторон больше длины третьей стороны:

(а - d) + 5 > a + d

2d < 5

d < 2,5

Так как d может принимать только целые положительные значения, то это могут быть только 1 или 2.

при d = 1:      а - d = 4 см; а = 5 см; а + d = 6 см

при d = 2:     а - d = 3 см; а = 5 см; а + d = 7 см

ответ: стороны треугольника 4 см; 5 см; 6 см или 3 см; 5 см; 7 см.

Три целочисленные стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию : с разностью d. Тогда

=15 см  -  по условию

см

Разность арифметической прогрессии для сторон треугольника может принимать целые значения от -4 до +4, так как сторона треугольника не может быть равна нулю и быть отрицательной.

Для стационарной (постоянной) арифметической прогрессии :

см - равносторонний треугольник

Для возрастающей арифметической прогрессии :

см, см, см

         4 + 5 > 6   -  неравенство треугольника выполняется

см, см, см

         3 + 5 > 7   -  неравенство треугольника выполняется

см, см, см

         2 + 5 < 8   -  неравенство треугольника не выполняется

см, см, см

         1 + 5 < 9   -  неравенство треугольника не выполняется

Для убывающей арифметической прогрессии при отрицательных значениях d поменяется порядок сторон ( первая и третья), но числовые значения будут такими же.

ответ : 1) 5 см, 5 см, 5 см; 2) 4 см, 5 см, 6 см; 3) 3 см, 5 см, 7 см