55 .построить график функции y=6/x . для каждой функции по графику найти а) y(2), б) значения x, если y(x)=3, в) промежутки, на которых y(x)> 0, y(x)< 0, г) промежутки возрастания, убывания. .
Область определения функции. ОДЗ:Точки, в которых функция точно неопределена: x=0
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 6/x. Результат: y=zoo. Точка: (0, zoo)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:6/x = 0 Решаем это уравнение здесь и его корни будут точками пересечения с X: Нету корней, значит график функции не пересекает ось X Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=-6/x^2=0 Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами: нет решения - нет экстремумов. Точки перегибов графика функции: Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, + нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=12/x^3=0lim y'' при x->+0 lim y'' при x->-0 (если эти пределы не равны, то точка x=0 - точка перегиба) Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=0. Точка: (0, ±oo)Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вертикальные асимптотыЕсть: x=0Горизонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim 6/x, x->+oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0lim 6/x, x->-oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 Наклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы:lim 6/x/x, x->+oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой слеваlim 6/x/x, x->-oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой справа Четность и нечетность функции: Проверим функци четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:6/x = -6/x - Нет6/x = -(-6/x) - Дазначит, функция является нечётной
Область определения функции. ОДЗ:Точки, в которых функция точно неопределена: x=0
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 6/x.Результат: y=zoo. Точка: (0, zoo)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:6/x = 0 Решаем это уравнение здесь и его корни будут точками пересечения с X:
Нету корней, значит график функции не пересекает ось X
Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=-6/x^2=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами: нет решения - нет экстремумов.
Точки перегибов графика функции: Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=12/x^3=0lim y'' при x->+0
lim y'' при x->-0
(если эти пределы не равны, то точка x=0 - точка перегиба)
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=0. Точка: (0, ±oo)Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вертикальные асимптотыЕсть: x=0Горизонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim 6/x, x->+oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0lim 6/x, x->-oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 Наклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы:lim 6/x/x, x->+oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой слеваlim 6/x/x, x->-oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой справа
Четность и нечетность функции: Проверим функци четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:6/x = -6/x - Нет6/x = -(-6/x) - Дазначит, функция является нечётной