6.Вычисли значение предела: lim/x→−4 x2+13x+36/x2−16= ?/?
(ответ вводи в виде сокращённой дроби:
1) если получается целое число, в знаменателе пиши 1.
2) Если получается отрицательное число, минус записывай в числитель.
3) Нуль вводи так: 0/1.)
7. Вычисли значение предела:
lim/x→∞ 5x2−2x−2/8x2−8x+6=?/?
(ответ вводи в виде сокращённой дроби. Если получается целое число, в знаменателе пиши 1.)
8. Используя теорему Вейерштрасса , докажи, имеет ли последовательность (xn) предел:
xn=8n2+3/n2.
В доказательстве используй следующий план:
1) исследуй последовательность на монотонность. Заданная последовательность
является монотонной и убывающей
является монотонной и возрастающей
не является монотонной
2) Исследуй последовательность на ограниченность. Заданная последовательность:
является ограниченной сверху
является ограниченной снизу
является ограниченной
не является ограниченной
3) В выводах используй теорему Вейерштрасса.
Теорема Вейерштрасса:
ограниченная последовательность имеет предел
последовательность, имеющая предел, монотонная
монотонная и ограниченная последовательность сходится
монотонная последовательность имеет предел
не монотонная последовательность не имеет предел
4) Выясни, имеет ли заданная последовательность предел:
имеет предел
не имеет предела
5) Вычисли предел последовательности:
lim/n→∞ xn=?
Подставим x = -4 в выражение: x^2 + 13x + 36 / x^2 - 16.
Числитель: (-4)^2 + 13(-4) + 36 = 16 - 52 + 36 = 0
Знаменатель: (-4)^2 - 16 = 16 - 16 = 0
Получили ноль как результат как в числителе, так и в знаменателе.
Тогда ответом будет 0/0. В данном случае нельзя просто заменить эту дробь на 0, так как эта выражение неопределено, и мы не можем вычислить значение предела.
7. Для вычисления предела данного выражения, нам нужно рассмотреть поведение выражения при стремлении x к бесконечности.
Разделим каждый член числителя и знаменателя на x^2:
(5x^2 - 2x - 2)/(8x^2 - 8x + 6)
При стремлении x к бесконечности, мы можем проигнорировать меньшие степени в знаменателе.
Таким образом, предел можно записать как:
lim/x→∞ (5 - (2/x) - (2/x^2))/(8 - (8/x) + (6/x^2))
При x→∞, члены (2/x) и (2/x^2) стремятся к нулю, и члены (8/x) и (6/x^2) также стремятся к нулю.
Тогда предел можно записать как:
(5 - 0 - 0)/(8 - 0 + 0) = 5/8
Ответом будет 5/8.
8. Для доказательства наличия предела последовательности (xn) = (8n^2+3)/n^2 воспользуемся планом, указанным в задании.
1) Исследуем последовательность на монотонность:
Чтобы найти монотонность последовательности, рассмотрим разность xn+1 - xn:
xn+1 - xn = (8(n+1)^2 + 3)/(n+1)^2 - (8n^2 + 3)/n^2
= (8n^2 + 16n + 8 + 3n^2 + 6n + 3)/(n^2 + 2n + 1) - (8n^2 + 3)/n^2
= (11n^2 + 22n + 11)/(n^2 + 2n + 1) - (8n^2 + 3)/n^2
Упрощаем:
= (11n^2 + 22n + 11 - 8n^2 - 3(n^2 + 2n + 1))/(n^2 + 2n + 1)
= (3n^2 + 16n + 8)/(n^2 + 2n + 1)
Поскольку выражение (3n^2 + 16n + 8)/(n^2 + 2n + 1) не строго убывает и не строго возрастает,
последовательность не является монотонной.
2) Исследуем последовательность на ограниченность:
Для оценки заданной последовательности будем сравнивать каждый её член с членом последовательности,
в которой знаменатель будет равен единице, чтобы облегчить дальнейшее сравнение:
yn = (8n^2 + 3)/1 = 8n^2 + 3
Заметим, что для всех n: xn ≤ yn.
Тогда xn ограничена сверху.
3) Вывод по теореме Вейерштрасса:
Так как последовательность xn ограничена сверху,
согласно теореме Вейерштрасса ограниченная последовательность имеет предел.
То есть, последовательность xn имеет предел.
4) Имеет предел.
5) Чтобы найти предел последовательности, мы можем проанализировать выражение xn:
xn = (8n^2 + 3)/n^2
При таком выражении, нам необходимо выделить наиболее сильный элемент:
= (8 + 3/n^2)
При n→∞, выражение 3/n^2 стремится к нулю.
Тогда предел можно записать как:
lim/n→∞ xn = lim/n→∞ (8+0) = 8.
Ответом будет 8.