61. (В7-206-25) Куплены тетради по 100 сумов и 125 сумов за каждую
тетрадь, всего на сумму 1750 сумов.
Какое из следующих чисел может быть
числом тетрадей по 100 сумов?

Рассмотрим остатки от деления чисел 21, 13 и 5 на 8. Они все равны 5. При возведении чисел 21, 13 и 5 в степень будем всегда иметь множители вида (6k+5)*...*(6k+5). Поскольку 5^2 = 25, а 25/8 дает в остатке 1, то числа 21^n, 13^n и 5^n при четных n будут давать остатки равные 1, а при нечетных n, остатки равные 5. Пусть сперва n четно, тогда 21^n = 8k+1, 9*13^n = 9*(8m + 1) = 72m + 9 и 2*5^(n+1) = 2*(8l + 5) = 16l + 10. Тогда 21^n + 9*^3^n - 2*5^(n+1) = 8k + 72m - 16l + 1 + 9 - 10 = 8(k + 9m - 2l), т. е. кратно 8. Пусть теперь n нечетно. Тогда 21^n = 8k + 5, 9*13^n = 9*(8m + 5) = 72m + 45 и 2*5^(n+1) = 2*(8l + 1) = 16l + 2. Следовательно 21^n + 9*^3^n - 2*5^(n+1) = 8k + 72m - 16l + 5 + 45 - 2 = 8(k + 9m - 2l) + 48 = 8(k + 9m - 2l +6), т. е. вновь кратно 8. Т. о. выражение  21^n + 9*^3^n - 2*5^(n+1) всегда кратно 8.

Семилетняя война. Основные события:
1756 год - военные действия России против Пруссии, Меноркское сражение, поражение Франции от Великобритании.
1757 год - победа русских войск у деревни Гросс-Егерсдорф.
1758 год - взятие русскими войсками Кенигсберга.
1759 год - победа русских войск у Кунерсдорфа.
1760 год - взятие Берлина русскими.
1761 год - победа у крепости Кольберг.
 Итоги Семилетней войны:
Между Пруссией и Россией был подписан мирный договор, по которому Фридриху 2 возвращались все земли, завоеванные русской армией.
В 1763 году были подписаны Парижский и Губертусбургский мирные договоры. В этом же году война закончилась.