3sin^2(2x) + 10sin(2x) + 3 = 0.
Введем новую переменную, пусть sin(2x) = а.
Получается уравнение 3а^2 + 10а + 3 = 0.
Решаем квадратное уравнение с дискриминанта:
a = 3; b = 10; c = 3;
D = b^2 - 4ac; D = 10^2 - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64 (√D = 8);
x = (-b ± √D)/2a;
а1 = (-10 - 8)/(2 * 3) = -18/6 = -3.
а2 = (-10 + 8)/6 = -2/6 = -1/3.
Возвращаемся к замене sin(2x) = а.
1) sin(2x) = -3 (не может быть, синус любого угла больше -1, но меньше 1).
2) sin(2x) = -1/3.
Отсюда 2х = ((-1)^n * arcsin(-1/3))/2 + П/2 * n, n - целое число.
Делим все на 2: х = ((-1)^n * arcsin(-1/3))/2 + П/2 * n, n - целое число.
3sin^2(2x) + 10sin(2x) + 3 = 0.
Введем новую переменную, пусть sin(2x) = а.
Получается уравнение 3а^2 + 10а + 3 = 0.
Решаем квадратное уравнение с дискриминанта:
a = 3; b = 10; c = 3;
D = b^2 - 4ac; D = 10^2 - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64 (√D = 8);
x = (-b ± √D)/2a;
а1 = (-10 - 8)/(2 * 3) = -18/6 = -3.
а2 = (-10 + 8)/6 = -2/6 = -1/3.
Возвращаемся к замене sin(2x) = а.
1) sin(2x) = -3 (не может быть, синус любого угла больше -1, но меньше 1).
2) sin(2x) = -1/3.
Отсюда 2х = ((-1)^n * arcsin(-1/3))/2 + П/2 * n, n - целое число.
Делим все на 2: х = ((-1)^n * arcsin(-1/3))/2 + П/2 * n, n - целое число.
ОДЗ : { x-2 ≥ 0 ; 6x-11 ≥ 0 ; x+3 ≥0 ⇒ x ∈[2 ;∞) .
перепишем уравнение в виде:
√(x-2) +√(x+3) =√(6x-11) ;
√((x-2) +√(x+3) )²= (√(6x-11) )² ;
(√(x-2))² +2√(x-2)* √(x+3)+(√( x+3))²= (√(6x-11) )² ;
x-2 +2√(x-2)(x+3) + x+3= 6x-11 ;
2√(x-2)(x+3) =4(x -3) ;
√(x-2)(x+3) = 2(x -3) ;
При x ≥ 3 ⇒ (√(x-2)(x+3) )² = (2(x -3))² ;
(x-2)(x+3) =4(x² -6x+9) ;
x² + x -6 = 4x² -24x + 36 ;
3x² -25x +42 =0 ;
D =25² -4*3*42 =625 -504 =121 =11² ;√ D=11 ;'
x₁,₂ = (25 ± 11)/2*3 ;
x₁ = (25 - 11)/6 =7/3; не решение не удов x ≥ 3 ю
x₂ = (25 +11)/6 =6.
ответ : 6.
непосредственная постановка показывает что x =6 корень уравнения .