1)а) f (х) = х + 2; F(x) =x²/2 + 2x + C б) f (х) = х^3 – 2х + 1; F(X) = x^4/4 -2x²/2 + x + C = x^4/4 - x² + x + X в) f (х) = х^2 + соs х F(X) = x³/3 + Sinx + C 2. Найдите ту первообразную функции, график которой проходит через начало координат (0;0) f (х) = 2х^2 – 3х + 1. F(x) = 2x³/3 - 3x²/2 + x + C 0 = 0 + C C = 0 ответ: F(x) = 2x³/3 - 3x²/2 + x 3. Пусть F(х) – первообразная функции f (х) = х^2 – х . f'(x) = 2x -1 2x -1 = 0 x = 1/2 это точка минимума. х∈( -∞; 1+2) - это промежуток убывания f(x) х∈(1/2;+∞) - это промежуток возрастания.
F(x) =x²/2 + 2x + C
б) f (х) = х^3 – 2х + 1;
F(X) = x^4/4 -2x²/2 + x + C = x^4/4 - x² + x + X
в) f (х) = х^2 + соs х
F(X) = x³/3 + Sinx + C
2. Найдите ту первообразную функции, график которой проходит через начало координат (0;0)
f (х) = 2х^2 – 3х + 1.
F(x) = 2x³/3 - 3x²/2 + x + C
0 = 0 + C
C = 0
ответ: F(x) = 2x³/3 - 3x²/2 + x
3. Пусть F(х) – первообразная функции f (х) = х^2 – х .
f'(x) = 2x -1
2x -1 = 0
x = 1/2
это точка минимума.
х∈( -∞; 1+2) - это промежуток убывания f(x)
х∈(1/2;+∞) - это промежуток возрастания.
чтобы найти наименьшее значение функции, нужно сначала найти ее производную
(производная от cosx = -sinx и еще надо не забыть множитель 2)
далее нужно найти стационарные точки
это те точки, в которых производная равна нулю
следовательно приравняем нашу производную к нулю
т.к. синус не может принимать значения меньше -1, то стационарных точек нет и функция всегда возрастает или убывает
именно это мы сейчас и узнаем
для этого нужно понять, положительна ли производная или отрицательна
-2sinx имеет максимальное значение равное 2 (если синус будет равен -1, то (-2)*(-1)=2)
2-11<0, следовательно производная отрицательна и функция всегда убывает
нам нужно найти наименьшее значение на определенном промежутке [-;0]
поскольку мы выяснили, что наша функция всегда убывает, то наименьшее значение будет при наибольшем х
в нашем случае на промежутке [-;0] набольший х=0
и нам остается только лишь посчитать значение функции в нуле