Добрый день! Рад быть вашим учителем на сегодняшний урок математики.
Для того чтобы найти первообразную данной функции f(x), нам потребуется использовать некоторые методы интегрирования. Давайте разобьем эту задачу на две части:
1) ∫(6/5√4x+2)dx
2) ∫(1/cos^2 5x)dx
Приступим сначала к первой части:
1) ∫(6/5√4x+2)dx
Давайте вначале разложим 6/5√4x+2 следующим образом:
6/5√4x+2 = 6/5 * 1/√4x+2
Теперь заметим, что 1/√4x+2 = 1/(2√(x+1/2)).
Применим теперь замену переменной u = x+1/2. Тогда du/dx = 1, и dx = du.
∫(6/5 * 1/(2√(x+1/2)))dx = ∫(3/5 * 1/√u)du
Теперь, используя замену переменной, получаем:
∫(3/5 * 1/√u)du = (3/5) ∫(1/√u)du
Для вычисления данного интеграла достаточно знать, что ∫(1/√u)du = 2√u + C, где C - постоянная интегрирования.
Подставим наше значение обратно:
(3/5) ∫(1/√u)du = (3/5) * (2√u + C) = 6/5√u + C'
где C' = (3/5)C - это новая постоянная интегрирования.
Теперь перейдем ко второй части задачи:
2) ∫(1/cos^2 5x)dx
Для решения данного интеграла воспользуемся формулой интегрирования ∫(1/cos^2 u)du = ∫(sec^2 u)du = tan u + D, где D - постоянная интегрирования.
Теперь заменим u на 5x:
∫(1/cos^2 5x)dx = ∫(sec^2 5x)dx = (1/5)tan 5x + E,
где E - новая постоянная интегрирования.
Теперь объединим результаты по двум частям:
Итого, первообразная для функции f(x) = 6/5√4x+2 + 1/cos^2 5x равна
6/5√u + C' + (1/5)tan 5x + E.
Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас, и он поможет вам решать подобные задачи в будущем. Если у вас возникнут еще вопросы - не стесняйтесь задавать их!
Добрый день! Давайте решим каждый из данных вопросов по очереди.
1) Найдем значение выражения -7cos2a, если sina = 0.5.
Для начала, нам нужно найти значение cos2a. Поскольку мы знаем сина, мы можем использовать тригонометрическую теорему Пифагора: sin²a + cos²a = 1.
Заметим, что дано значение sin a, а нам нужно найти значение cos2a. Используя двойной угол, мы можем выразить cos2a через sin a: cos2a = 2cos²a - 1.
Теперь мы можем решить уравнение. Подставляем значение sin a в тригонометрическую теорему Пифагора: (0.5)² + cos²a = 1.
Решаем квадратное уравнение: 0.25 + cos²a = 1. Вычитаем 0.25 из обоих сторон уравнения: cos²a = 0.75.
Теперь, когда у нас есть значение cos2a, мы можем найти значение -7cos2a: -7 * 0.5 = -3.5.
Ответ: -7cos2a = -3.5.
2) Найдите значение выражения 2√2 sin 11π/8 cos 11π/8.
Для нахождения значения этого выражения нам понадобится знание тригонометрических формул. Для удобства, обозначим угол 11π/8 через a.
Используя формулу sin2a = 2sin a cos a, мы можем переписать данное выражение: 2√2 sin 11π/8 cos 11π/8 = √2 * sin 2(11π/8).
Теперь, используя формулу sin2a = 2sin a cos a, мы можем переписать sin 2(11π/8) как sin(22π/8) = sin(11π/4).
Заметим, что sin(11π/4) = sin(45°), и мы знаем, что sin(45°) = √2/2.
Теперь, подставляем это значение обратно в исходное выражение: 2√2 * (√2/2) = 2 * 2 = 4.
Ответ: значение выражения 2√2 sin 11π/8 cos 11π/8 = 4.
3) Выражение 2cos²a tg a/cos²a-sin²a.
Для начала, нужно заметить, что мы можем упростить выражение. Заметим, что cos²a-sin²a = cos(2a).
Теперь, подставляем это упрощенное значение в выражение: 2cos²a tg a/cos²a-sin²a = 2cos²a tg a/cos(2a).
Теперь, мы можем использовать тригонометрическую формулу tg a = sin a / cos a, а также заменить cos(2a) через cos²a-sin²a, получаем tg a = sin a / (cos²a-sin²a).
Теперь, подставляем это значение обратно в исходное выражение: 2cos²a * (sin a / (cos²a-sin²a)).
Заметим, что выражение 2cos²a сокращается: 2cos²a *(sin a / (cos²a-sin²a)) = 2sin a / (cos²a-sin²a).
Ответ: выражение равно 2sin a / (cos²a-sin²a).
4) Решите уравнение sin 3x cos 3x = -√3/4.
Для начала, заметим, что данное уравнение содержит произведение синуса и косинуса, что намекает на использование тригонометрической формулы произведения двух синусов.
Используя формулу произведения двух синусов, мы можем переписать данное уравнение: sin(2y) = -√3/4.
А теперь заметим, что у нас есть sin 2y, а нам нужно найти sin y. Используя формулу sin(2y) = 2sin y cos y, мы можем выразить sin y через sin 2y: sin y = √[(1 - cos(2y))/2].
Теперь, заменяем sin(2y) в уравнении: √[(1 - cos(2y))/2] = -√3/4.
Возведем обе части уравнения в квадрат, убирая квадратный корень: (1 - cos(2y))/2 = (-√3/4)² = 3/16.
Находим квадратные корни: cos y = ± √(13/16) = ± √13/4.
Теперь, чтобы найти значения x, мы должны использовать формулы, связывающие углы с различными значениями синуса и косинуса. В данном случае, значения sin(2y) и cos(2y) одинаковы, поэтому sin y = cos y = ± √13/4.
Ответ: значения x, для которых sin 3x cos 3x = -√3/4, равны arcsin(± √13/4).
Я надеюсь, что данное объяснение позволит школьнику понять эти задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.
Для того чтобы найти первообразную данной функции f(x), нам потребуется использовать некоторые методы интегрирования. Давайте разобьем эту задачу на две части:
1) ∫(6/5√4x+2)dx
2) ∫(1/cos^2 5x)dx
Приступим сначала к первой части:
1) ∫(6/5√4x+2)dx
Давайте вначале разложим 6/5√4x+2 следующим образом:
6/5√4x+2 = 6/5 * 1/√4x+2
Теперь заметим, что 1/√4x+2 = 1/(2√(x+1/2)).
Применим теперь замену переменной u = x+1/2. Тогда du/dx = 1, и dx = du.
∫(6/5 * 1/(2√(x+1/2)))dx = ∫(3/5 * 1/√u)du
Теперь, используя замену переменной, получаем:
∫(3/5 * 1/√u)du = (3/5) ∫(1/√u)du
Для вычисления данного интеграла достаточно знать, что ∫(1/√u)du = 2√u + C, где C - постоянная интегрирования.
Подставим наше значение обратно:
(3/5) ∫(1/√u)du = (3/5) * (2√u + C) = 6/5√u + C'
где C' = (3/5)C - это новая постоянная интегрирования.
Теперь перейдем ко второй части задачи:
2) ∫(1/cos^2 5x)dx
Для решения данного интеграла воспользуемся формулой интегрирования ∫(1/cos^2 u)du = ∫(sec^2 u)du = tan u + D, где D - постоянная интегрирования.
Теперь заменим u на 5x:
∫(1/cos^2 5x)dx = ∫(sec^2 5x)dx = (1/5)tan 5x + E,
где E - новая постоянная интегрирования.
Теперь объединим результаты по двум частям:
Итого, первообразная для функции f(x) = 6/5√4x+2 + 1/cos^2 5x равна
6/5√u + C' + (1/5)tan 5x + E.
Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас, и он поможет вам решать подобные задачи в будущем. Если у вас возникнут еще вопросы - не стесняйтесь задавать их!
1) Найдем значение выражения -7cos2a, если sina = 0.5.
Для начала, нам нужно найти значение cos2a. Поскольку мы знаем сина, мы можем использовать тригонометрическую теорему Пифагора: sin²a + cos²a = 1.
Заметим, что дано значение sin a, а нам нужно найти значение cos2a. Используя двойной угол, мы можем выразить cos2a через sin a: cos2a = 2cos²a - 1.
Теперь мы можем решить уравнение. Подставляем значение sin a в тригонометрическую теорему Пифагора: (0.5)² + cos²a = 1.
Решаем квадратное уравнение: 0.25 + cos²a = 1. Вычитаем 0.25 из обоих сторон уравнения: cos²a = 0.75.
Используя формулу cos2a = 2cos²a - 1, подставляем значение cos²a: cos2a = 2 * 0.75 - 1 = 1.5 - 1 = 0.5.
Теперь, когда у нас есть значение cos2a, мы можем найти значение -7cos2a: -7 * 0.5 = -3.5.
Ответ: -7cos2a = -3.5.
2) Найдите значение выражения 2√2 sin 11π/8 cos 11π/8.
Для нахождения значения этого выражения нам понадобится знание тригонометрических формул. Для удобства, обозначим угол 11π/8 через a.
Используя формулу sin2a = 2sin a cos a, мы можем переписать данное выражение: 2√2 sin 11π/8 cos 11π/8 = √2 * sin 2(11π/8).
Теперь, используя формулу sin2a = 2sin a cos a, мы можем переписать sin 2(11π/8) как sin(22π/8) = sin(11π/4).
Заметим, что sin(11π/4) = sin(45°), и мы знаем, что sin(45°) = √2/2.
Теперь, подставляем это значение обратно в исходное выражение: 2√2 * (√2/2) = 2 * 2 = 4.
Ответ: значение выражения 2√2 sin 11π/8 cos 11π/8 = 4.
3) Выражение 2cos²a tg a/cos²a-sin²a.
Для начала, нужно заметить, что мы можем упростить выражение. Заметим, что cos²a-sin²a = cos(2a).
Теперь, подставляем это упрощенное значение в выражение: 2cos²a tg a/cos²a-sin²a = 2cos²a tg a/cos(2a).
Теперь, мы можем использовать тригонометрическую формулу tg a = sin a / cos a, а также заменить cos(2a) через cos²a-sin²a, получаем tg a = sin a / (cos²a-sin²a).
Теперь, подставляем это значение обратно в исходное выражение: 2cos²a * (sin a / (cos²a-sin²a)).
Заметим, что выражение 2cos²a сокращается: 2cos²a *(sin a / (cos²a-sin²a)) = 2sin a / (cos²a-sin²a).
Ответ: выражение равно 2sin a / (cos²a-sin²a).
4) Решите уравнение sin 3x cos 3x = -√3/4.
Для начала, заметим, что данное уравнение содержит произведение синуса и косинуса, что намекает на использование тригонометрической формулы произведения двух синусов.
Используя формулу произведения двух синусов, мы можем переписать данное уравнение: sin(2y) = -√3/4.
А теперь заметим, что у нас есть sin 2y, а нам нужно найти sin y. Используя формулу sin(2y) = 2sin y cos y, мы можем выразить sin y через sin 2y: sin y = √[(1 - cos(2y))/2].
Теперь, заменяем sin(2y) в уравнении: √[(1 - cos(2y))/2] = -√3/4.
Возведем обе части уравнения в квадрат, убирая квадратный корень: (1 - cos(2y))/2 = (-√3/4)² = 3/16.
Теперь, мы можем решить уравнение: 1 - cos(2y) = (3/16) * 2 = 3/8.
Выразим cos(2y): cos(2y) = 1 - 3/8 = 5/8.
Используя тригонометрическую формулу cos(2y) = 2cos²y - 1, получаем 2cos²y - 1 = 5/8.
Теперь решаем полученное квадратное уравнение: 2cos²y = 5/8 + 1 = 13/8.
Делим оба выражения на 2: cos²y = 13/16.
Находим квадратные корни: cos y = ± √(13/16) = ± √13/4.
Теперь, чтобы найти значения x, мы должны использовать формулы, связывающие углы с различными значениями синуса и косинуса. В данном случае, значения sin(2y) и cos(2y) одинаковы, поэтому sin y = cos y = ± √13/4.
Ответ: значения x, для которых sin 3x cos 3x = -√3/4, равны arcsin(± √13/4).
Я надеюсь, что данное объяснение позволит школьнику понять эти задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.